有关阿贝尔积分的几个问题研究

In the project, we mainly consider the problems for bifurcation of limit cycles and monotonicity of period of periodic orbits, which is related to the weak Hilbert's 16th problem and Chicone's conjecture. We are going to investigate monotonicity of period function of quadratic reversible centers, and bifurcation problems of limit cycles for wave equations and switching differential systems. We will rely on Abelian integral to study the related problems, and the research of these problems is very important for theoretical significance and application value.

该项目主要考虑微分方程极限环的分支问题以及周期轨道周期的单调性问题，这些问题涉及到弱化的Hilbert第十六问题和Chicone 猜想。具体研究二次可逆中心周期函数的单调性以及波方程和切换微分系统的极限环分支问题。我们将借助Abel积分来研究相关问题，这些问题的研究用着重要的理论意义和应用价值。

该项目研究了一些平面分段连续线性系统在庞加莱圆盘上的拓扑相图、两类有分段光滑反应函数的快慢捕食-被捕食系统的张弛振荡、2类多项式系统的Poincare分支和Hopf分支支以及一类传染病模型的行波解存在性问题等。具体而言，(1) 我们给出了分段连续的线性Lienard系统、鞍-鞍型的分段连续线性反射系统和Gray-Scott模型在Poincare圆盘上的拓扑相图；(2)考虑了有Holling I型反应函数且有结点的Gause 型快-慢捕食-被捕食系统和有Holling I型反应函数且有鞍点的 Leslie 型快-慢捕食-被捕食系统的张弛振荡问题；(3) 研究了一类具有尖点的Lienard系统的Poincare分支和Hopf分支以及两类三次等时系统的Poincare分支等问题；(4)研究了有标准发病率与非局部延迟传播的非局部传染病模型的行波解的存在性问题。这些问题是微分方程定性理论研究中的经典、热点问题。相关研究成果补充和完善了国内外已有的研究结果，具有较高的学术价值。