图的Randić指标以及调和指标极值问题的研究

The study of chemical graph theory is one of the most important problems in graph theory. The topological index can reflect the physical and chemical properties of the molecular graphs. In 1998, Bollobás and Erd?s (two famous mathematicians) generalized the Randi? index (also known as the connectivity index) which was proposed by the famous chemist Randi? when considering the structure of moleculars. Since then, more and more mathematicians are attracted to the researches on topological indices, such as Hosoya index, Wiener index and harmonic index. In our program, we first consider the general Randi? index and harmonic index of graphs, and characterize the corresponding extremal graphs ; we then consider a conjecture about the Randi? index and diameter obtained from the automatic computer system "Graffiti" by way of probabilistic method.

化学图论是图论研究的重要课题之一。一个（分子）图的拓扑指标值可以反映分子的物理、化学和药物学性质（QSAR和QSPR理论），因此研究图的拓扑指标有着重要的现实意义。1998年，由化学家Randi?在研究分子结构时引入的Randi?指标（也称为连通性指标）被著名数学家Bollobás和Erd?s推广为广义Randi?指标后，关于这方面的文章不断涌现，例如Hosoya指标、Wiener指标以及调和指标等都引发了很多学者的研究兴趣。本项目主要计划研究图的广义Randi?指标以及调和指标的极值问题，然后进一步寻找达到极值的极图（类）；我们还将运用概率方法来研究由Fajtlowicz利用“Graffiti”这一计算机程序得到的关于Randi?指标和图的直径之间关系的一个猜想。

本项目主要针对图的拓扑指标极值进行讨论，关于Randic指标的一个猜想没有取得太大的进展，但是对于调和指标极值给出了一系列的结果。取得的成果主要分成两部分，第一部分主要考虑了特殊图类的调和指标极值：按研究计划给出了双圈图中调和指标所能达到的最大最小值，并刻画了相应的达到极值的所有图；研究了单圈图中给定围长的情况下，具有最值的图类； 研究了给定匹配数的单圈图以及双圈图的调和指标下界。第二部分主要研究了调和指标和其他拓扑指标之间可能存在的关系式，利用构造函数的形式给出了调和指标、ABC指标与Randic指标、和连通性指标的关系式。最后还比较了ABC指标和GA指标之间的关系。