实复Finsler几何及其应用

The project is mainly about Finsler geometry and its applications on Physics. It includes: the properties of the isometric maps and Killing vector fields on Finsler manifolds; the geometric properties of Kaehler-Finsler manifolds and Kaehler-Berwald manifolds, for example the geometric characterizations of such manifolds under different curvature conditions, the relations between curvatures and topology, how is the classical Schwarz lemma and Wu's theorem in complex Finsler geometry and so on; to describe and classify Finsler symmetric spaces by Lie theory and make use of the results on bounded symmetric domains; to describe the space-time manifolds and twistor manifolds with a class of nondegenerate Finsler metrics and construct the wave equations, Maxwell equations and the connection between field equations and holonomy groups by Penrose transforms and X-ray transforms.

本项目的主要研究内容为实复Finsler几何及其在物理学中的应用。主要包括：实复Finsler流形上等距映射及Killing向量场的性质；Kaehler-Finsler流形与Kaehler-Berwald流形的几何性质，比如流形在不同曲率条件下的几何特征，流形的曲率与拓扑的关系，经典的Schwarz引理、Wu定理等在复Finsler几何中的表现形式等；运用Lie理论描述实复Finsler对称空间的几何特征并应用于有界对称域；对具一类非退化Finsler度量的时空流形与Twistor流形的相对论进行描述，建立波动方程，Maxwell方程等，并通过Penrose变换或X-ray变换建立场方程与同调群间的联系。

Finsler几何近年来发展非常迅速。无论是在理论还是在其它学科的应用上，每年都有大量的研究成果涌现，它已成为几何学研究的一个热点。本项目以实复Finsler流形为主要研究对象，探讨实复Finsler流形上的各种几何性质。另外，还试图将Finsler几何应用到相对论中。本项目的主要内容有：描述了Berwald流形间Berwald浸没映射中两流形间旗曲率的关系；用全纯截面曲率来刻画完备，单连通Kaehler流形，推广了Hermite对称空间中的一个经典结论；构造了Finsler度量下的狭义相对论和广义相对论的数学模型；在四维洛伦兹空间中建立了莫比乌斯不变的共形标架场，并分类了类空的莫比乌斯齐性超曲面。