随机偏微分方程最优控制问题的基于分层张量表示的自适应有限元方法

This project is built up to research on adaptive finite element method based on hierarchical tensor representations for three kinds of optimal control problems governed by stochastic partial differential equations with random coefficients. These three kinds of optimal control problems are governed by stochastic elliptic equations, stochastic parabolic equations and stochastic parabolic integral-differential equations, respectively. ..The research includes the following contents: using classical finite element method for the discretization of physical space and stochastic Galerkin finite element method based on hierarchical tensor representations for the discretization of random probability space, establishing the fully discrete schemes for the state equation and deducing the discrete optimal condition and the fully discrete schemes for the adjoint state equation；applying h-version adaptive method for physical space and the tensor train format for random probability space, and deriving residual posteriori error estimates by the theory of numerical analysis；constructing local refinement technique and efficient adaptive algorithm based on the adaption of the tensor rank。This adaptive algorithm can circumvent the computational complexity due to the very high-dimensional algebraic problems by the increase of the dimension of random probability space, which is well-known as the problem of the curse of dimensionality...The outcomes of the project will have more theoretical innovations, which will not only enrich greatly the theory of numerical method, but also improve new development of numerical simulation technique and application software in the field of optimal control problems governed by stochastic partial differential equations. They are of important scientific significance and great application value.

研究三类具有随机场系数的随机偏微分方程最优控制问题的基于分层张量表示的自适应有限元方法。问题分别为随机椭圆型方程、随机抛物型方程和随机抛物型积分微分方程最优控制问题。包括以下内容：对物理空间采用经典的有限元离散，对随机概率空间采用基于分层张量表示的随机Galerkin有限元离散，建立状态方程全离散格式，推导离散最优性条件和对偶状态方程的全离散格式；利用h-自适应方法处理物理空间，采用张量链格式处理随机概率空间，运用数值分析理论研究得到残量型后验误差估计；构造基于张量秩自适应的局部加密技术的、高效的自适应算法, 克服因随机维数的增长所产生的计算复杂性问题，即著名的维数灾难（the curse of dimensionality）问题。研究成果将有较多的理论创新，丰富随机偏微分方程最优控制领域的数值方法研究，促进该领域数值模拟技术和应用软件的新发展，有着重要的科学意义和很大的应用价值。

与确定性偏微分方程的自适应方法相比， 随机偏微分方程自适应方法仍然是一个新兴的研究领域，重点和难点在于实现随机空间的自适应。对随机椭圆型方程、随机抛 物型方程和随机抛物型积分微分方程最优控制问题, 本项目对物理空间采用经典的有限元离散，对随机空间重点研究了几种低秩的、张量表示的有限元离散方法。主要有：基于多重指标集的、以Legendre正交多项式为基函数的p型有限元方法; 基于径向基函数(RBFs)为基函数的随机无网格方法； Legendre正交多项式基函数总次数固定的拟最优随机Galerkin方法；随机变量关于一个小参数进行幂级数展开的摄动逼近方法。 对上述各方法，建立了状态方程、对偶状态方程和最优性条件的全离散计算格式；讨论了全离散计算格式的收敛性、稳定性和适定性，分析得到了相应的随机空间和物理空间分离的残量型后验误差估计，以及后验误差估计子；依据后验误差估计子，设计出了相应的基于低秩的、分层张量表示的、高效的自适应有限元算法，较好地克服传统网格加密的自适应方法因随机空间维数的增长而出现的“维数灾难”现象；进行了模型问题的数值模拟实验，获得了数据结果，验证了理论结果和自适应算法的可靠性。. 项目共资助发表21篇科研论文，其中：18篇SCIE收录期刊论文；资助成员袁益让教授出版了油藏数值模拟领域的科研专著1部。负责人在项目的资助下，四年来共指导了3名博士研究生、10名硕士研究生，其中2人完成了硕士学位论文并毕业。项目的开展，也提升了项目组研究人员在偏微分方程最优控制问题方向的科研水平。. 对随机偏微分方程最优控制问题，本项目研究了几种新的高效数值方法及其自适应算法。这些研究成果不仅丰富了该领域问题的数值模拟理论，而且可以促进该领域数值模拟技术和应用软件的新发展，有着较重要的科学意义和较大的应用价值。