基于多项式结式与Groebner基的非线性模型参数解析解法研究

非线性模型参数估计，通常采用牛顿法迭代求解。但若模型非线性程度高，或参数初值选取差，都将导致求解失败。顾及二次项的非线性参数估计因此得到研究，但难从根本上解决上述问题。利用目标函数而不依赖函数导数的直接搜索法，也得到广泛研究，但其存在收敛速度慢、对初值敏感等不足。同伦连续法作为一种全局收敛迭代法，应用潜力大，同时需要解决收敛慢等问题。解析解相比数值（迭代）解，具有明确物理意义和较快计算速度。本项目将在研究代数中的环理论和多项式理论的基础上，采用多项式结式与Groebner基，提出非线性模型（多项式形式，或能转化成多项式形式，包含确定和超定问题）参数解析(非迭代)解的一般方法和算法。重点以一些经典问题如交会定点、GPS伪距定位、三维基准转换、空基GPS气象学中折射角的求解、摄影测量中空间后方交会等为例进行探讨，给出问题的解析式。本研究将丰富测量数据处理方法，具有重要的理论意义和应用价值。

非线性模型参数估计，通常采用牛顿法迭代求解，但若模型非线性程度高，或参数初值选取差，都将导致求解失败。而解析解相比数值（迭代）解，无需参数初值，具有明确物理意义和较快计算速度。本项目将在研究代数中的环理论和多项式理论的基础上，基于多项式结式（如Sylvester结式、Macaulay结式、Sturmfels结式、Dixon结式）与Groebner 基，以及Gauss-Jacobi组合算法（Jacobi算法），提出了非线性模型（多项式形式，包含确定和超定问题）参数解析(非迭代)解的一般方法和算法。重点以一些经典问题如交会定点、空间后方交会、空间直角坐标到大地坐标的转换、平面直角坐标转换、三维基准转换等为例进行探讨，提出问题的解析式法和结果。主要成果有：1）提出了由笛卡尔坐标计算大地坐标的一种解析法。利用拉格朗日极值定律、Groebner基、Ferrari法，得到了由笛卡尔坐标计算大地坐标的解析式，避开了迭代计算初值问题，并重点探讨了该解析法的适应范围及给出其准确唯一解析式。研究表明，该算法除了近地心（<0.1km）区域都是有效可靠的，与经典的Vermeille (2004) 算法相当。2）提出了复数域内的平面坐标变换方法。给出了复数域内，平面坐标变换的模型，并讨论它与实数域内坐标变换的模型的关系。提出了复数Gauss-Jacobi组合算法，案例结果表明，该算法是一种新的良好稳健估计方法。3）提出了空间后方交会的新非迭代解法。首先，利用多项式结式和Ferrari四次方程解析式求解相机-基准点距离方程问题，然后利用代数技巧可先后得到外方位元素中的线元素与角度元素。研究表明，该算法对于任意大小姿态角的透视3点问题都是有效可靠的。4）提出了基于多项式结式的距离交会新解析法。基于Sylvester 结式推导了距离交会的解析式，并采用具体数值案例验证该方法的正确可靠性。5）提出了基于Jacobi算法解决超定型多项式问题的一般算法。所有计算过程都是解析推导得到的，无需参数初值、线性化和迭代计算。并以超定型的距离交会问题为例，验证该方法的正确可靠性。6）平面后方交会问题，将其分成了设站点到控制点的距离求解，以及超定型的距离交会问题求解，借助空间后方交会中的距离问题求解法和超定型的距离交会Jacobi算法解法实现。本研究丰富了测量数据处理方法，具有重要的理论意义和应用价值。