拓扑度理论及其在常微分方程边值问题中的应用

The boundary value problem of ordinary differential equations, as a mathematical field with practical application background, has always been at the intersection and junction of the theory of ordinary differential equations and the theory and method of functional analysis. With the development of natural science, the research methods have been improved and innovated, showing a trend of closer integration with linear operator theory, lattice theory and nonlinear functional analysis. Nonlinear functional analysis is a research direction in modern mathematics which has both profound theoretical significance and wide application background. And nonlinear functional analysis has become one of the basic tools for studying nonlinear problems. Therefore, the study of topological degree theory in nonlinear functional analysis and its application in boundary value problems of ordinary differential equations has important theoretical significance and application value. This project is devoted to theory of topological degree with lattice structure and its applications to existence of solutions for some boundary value problems(BVPs) for nonlinear ordinary differential equations(ODEs), including two aspects:(1) we shall give some computations of topological degree for nonlinear operators with lattice structure, which are not cone mappings, obtain new fixed points theorems and apply these theorems to study the existence and multiplicity of solutions of two-point and multi-point BVPs for nonlinear ODEs with nonlinearities and/or the Green functions possibly sign-changing. (2) By the known computations of topological degree for nonlinear operators with lattice structure and Rabinowitz global bifurcation theory, we shall study the global structure of solution set of two-point and multi-point BVPS for singular ODEs, which is used to consider the multiplicity of solutions. (3) By topological degree for nonlinear operators, we shall further study fractional differential equation boundary value problems . These results will lay a foundation for the other BVPs.

常微分方程边值问题作为有着实际应用背景的数学领域，一直处于常微分方程理论和泛函分析理论和方法的交叉和结合点上。随着自然科学的深入发展,在研究方法上也不断改进和创新，呈现出和线性算子理论、格理论及非线性泛函分析更加紧密结合的趋势。非线性泛函分析是现代数学中的一个既有深刻理论意义,又有广泛应用背景的研究方向,已经成为研究非线性问题的基本工具之一。因此，对于非线性泛函分析中的拓扑度理论及其在常微分方程边值问题中的应用的研究具有重要的理论意义和应用价值。本项目主要研究具有格结构的拓扑度的计算及其在常微分方程边值问题解的存在性的研究中的应用，主要包括：1、给出具有格结构的非锥映射的拓扑度的计算，得到新的不动点定理，并应用到具有变号非线性项或者变号Green函数的常微分方程两点和多点边值问题解的存在性及个数问题的研究。2、利用已有的格结构下的拓扑计算和Rabinowtiz全局分歧结构理论，研究非线性常微分方程多点边值问题和奇异非线性常微分方程两点边值问题解集的全局结构，并利用所得的结果来研究解的个数。3、利用拓扑度理论进一步研究分数阶微分方程边值问题。这些研究将为其他类型的边值问题的研究奠定基础。

常微分方程边值问题是一个有着实际应用背景的重要的数学分支, 非线性泛函分析是研究非线性问题的基本工具之一，利用非线性泛函分析中的理论来研究常微分方程边值问题的解的存在性具有重要的理论意义，也是当前国际上的一个热点研究课题。本项目主要利用拓扑度理论研究了常微分方程（组）边值问题的解的存在性，主要的研究内容和重要结果包括：（1）利用具有格结构的不动点定理，结合相应的线性算子的特征值，在超线性条件下，得到了一类二阶多点边值问题至少存在一个变号解和一个负解；（2）研究了一类二阶多点边值问题相应的线性算子的特征值的问题，并利用不动点定理，在一定条件下，得到了此类边值问题至少存在两个正解、两个负解和一个变号解；（3）利用不动点指数理论，在一定条件下，研究了一类带有Riemmann-Stieltjes积分边值条件的分数阶微分方程组边值问题至少存在两个正解；（4）利用非负凹函数的Jensen’s不等式进行先验估计，再根据不动点指数理论，在一定条件下，得到了一类二阶拟线性微分方程组边值问题至少存在一个或者两个正解；(5)利用增凹算子的不动点定理，在一定条件下，得到了一类具有积分边值条件的分数阶微分方程组存在唯一的正解；（6）利用Guo-Krasnosel’skii不动点定理，在一定条件下，研究了一类具有两个参数的含有p-Laplacian算子的分数阶微分方程组边值问题在一定条件下至少存在一个正解；（7）利用不动点指数理论，结合相应线性算子的谱半径，在一定条件下，研究了一类非线性项含有导数的带有积分边值条件的二阶常微分方程的正解的存在性；（8）利用Banach压缩映射原理，研究了一类非线性项含有导数的分数阶微分方程的解的存在唯一性。