Painlevé 差分方程的研究

This project will research the second order non-linear difference equations and q-difference equations of Painlevé type, and get the corresponding Painlevé difference equations and q-difference equations, the value distribution of meromorphic solutions of which will be studied. The theory of difference equations is widely studied recently, and it has important applications in engineering and technical fields such as signal processing、control theory、survey of satellilte navigation. We will apply the Nevanlinna difference theory to deal with relationship between the classifications of second order non-linear (q-)difference equations of Painlevé type and their coefficients, and then we investigate the value distributions of zeros and fixed points of these classifications'meromorphic solutions. The project will develop and improve the theory of Painlevé difference equations and value distribution of difference, give the theoretical basis for engineering and technical and have good scientific meaning and application prospect.

本项目将对Painlevé型二阶非线性差分方程和q-差分方程进行分类，得到相应的Painlevé差分方程和Painlevé q-差分方程，进而研究其亚纯解的值分布。作为近几年来研究的热点，差分方程理论在一些重大工程技术领域如信号处理、控制理论以及卫星导航测量等有着广泛的应用。本项目将发展和应用Nevanlinna差分理论，从亚纯解的极点的局部性质出发，弄清楚二阶非线性(q-)差分方程的全部可能分类与其系数之间的关系，进而研究Painlevé(q-)差分方程亚纯解的零点和不动点分布。本课题将发展和完善Painlevé 差分方程理论体系和差分值分布理论，为工程技术提供理论基础，具有科学意义和应用前景。

差分方程理论是近几年来研究的热点，它在一些重大工程技术领域如信号处理、控制理论以及卫星导航测量等有着广泛的应用。本项目的主要成果有：从解析理论中经典的 Nevanlinna 值分布论出发，建立新的研究方法，给出了第四类型Painlevé差分方程的全部分类；研究了第三类型Painlevé差分方程和一些高阶差分方程亚纯解的解析性质；研究了q-差分多项式的值分布和分担值问题；给出了亚纯函数在分担函数对的唯一性结论。本项目的实施与完成对完善六类差分方程，研究Painlevé差分方程和高阶差分方程的亚纯解的解析性质和亚纯函数分担公共值对具有重要意义。此外，项目所研究的q-差分多项式的值分布和分担值问题是一个很新的研究课题，这将为同领域的研究提供一些重要借鉴。作为Nevanlinna 理论与差分理论的交叉学科，本项目的实施将进一步丰富和发展Nevanlinna理论在差分中的应用，深化利用连续性理论解决离散性问题，具有很高的科学意义和应用前景。