辫子群、协边理论与同伦群

Recently， some important connections between homotopy groups and braid groups have been established, particularly there are important relations between Brunnian braids and homotopy groups of spheres. The purpose of this project is to explore the representation theory of Brunnian braids and Vassiliev invarants of braids as well as their applications to homotopy groups.It is also important to study relevant topics. One of the active area in algebraic topology and differential topology is to study manifolds with group actions. As the continuation of our privious research, this project will also study equvariant cobordism theory as well as its further connections with homotopy theory. The research of this project will help to establish further connections between algebraic topology and geometric topology.

近年来，在同伦群方面的研究取得了重要突破，通过建立同伦群与辫子群的联系给出了同伦群的组合描述，给出了Brunnian 辫子群与球面同伦群之间的密切联系。本项目拟在前人工作基础上，通过研究辫子群的表示论和辫子群的Vassiliev不变量来深入研究Brunnian辫子群的性质，进而给出同伦群的一些性质。这对于推动代数拓扑中关于同伦群的研究有着重要的理论意义。另一方面，变换群在微分流形上的作用一直是代数拓扑与微分拓扑研究中十分活跃的分支之一。本项目将在已有工作的基础上继续研究流形的等变协边分类问题，并试图寻找协边理论与同伦论之间更多的联系。研究结果将推动同伦论和协边理论的发展，并进一步沟通代数拓扑与几何拓扑之间的联系。

辫子群与同伦群之间的关系是代数拓扑学近几年的热门研究课题之一,通过建立辫子群与同伦群之间的联系给出了同伦群的组合描述。因此由辫子群的性质可以给出同伦群的一些信息。本项目主要工作之一是围绕 Brunnian 辫子群的概念建立 Brunnian 辫子群的相对李代数,并研究此相对李代数的性质。本项目的第二个主要工作是研究流形的等变协边分类问题。这一问题是代数拓扑与微分拓扑研究中十分活跃的分支之一。本项目对于不动点集为有限个复射影空间、有限个四元数射影空间的并的带对合作用的流形的协边分类进行了一系列研究。另外, 根据学科发展的最新动态,我们还拓展了研究范围。一方面建立了单纯复形或小范畴的扭转单纯群和扭转同调, 并研究了这种扭转单纯群的同伦形。另一方面对于代数表示论中的经典倾斜余模和余倾斜余模、Hom-代数进行了深入的研究。.科研成果:发表论文6篇,其中 SCI 检索 3 篇,国内核心期刊论文 2 篇,国内 一般期刊论文 1 篇。国内外合作与交流:项目组成员共参加国际会议 4 次,国内会议 2 次。