Birman-Murakami-Wenzl代数及其相关代数的表示理论

本项目主要研究Birman-Murakami-Wenzl代数以及复反射群的阶化Hecke 代数的结构与表示。通过研究Birman-Murakami-Wenzl代数的cell模结构，解决Birman-Murakami-Wenzl代数的blocks分类问题，并研究cell模的合成因子以及分解数，将该方法推广到研究分圆Nazarov-Wenzl代数和分圆Birman-Murakami-Wenzl代数的表示理论中的相关问题。另一方面，研究退化仿射Birman-Murakami-Wenzl代数的阶化代数，给出其对应于复反射群的阶化代数的分类定理，再通过研究退化仿射Birman-Murakami-Wenzl代数的阶化代数与阶化Hecke代数之间的关系，找出非平凡的复反射群的阶化Hecke代数。

在承担青年科学基金项目期间，项目组成员继续从事于研究与李理论有关的有限维代数的结构与表示理论，其中包含Birman-Murakami-Wenzl代数（简称BMW代数）、分圆BMW代数和分圆Nazarov-Wenzl代数。BMW代数是由Birman-Wenzl和Murakami分别引入的一类辫子群群代数的商代数，他们利用该代数来研究纽结不变量，并且A型Hecke代数是该代数的商代数。BMW代数与数学的很多方向都有着密切的联系，如Brauer代数，辫子群，量子群，Kauffman纽结不变量等。分圆BMW代数是BMW代数的自然推广，当参数r取1时，分圆BMW代数即为BMW代数。BMW代数及其相关代数的表示理论被国内外许多数学研究者们所关注，如Weyl,Lehrer,Koenig,Wenzl，Kauffman，Morton-Wassermann等。在该项目中，我们完全解决了分圆BMW代数在任意域上的半单性问题，给出该代数的Gram矩阵行列式的递推公式，并利用这些结果研究出它的Morita等价问题以及在一定条件下分圆BMW代数的不可约表示的块分类。此外，还研究了BMW代数和分圆Nazarov-Wenzl代数的不可约表示的块分类。关于这些研究结果，我们共发表了三篇SCI论文，一篇EI论文。