统计反问题的贝叶斯方法及其在地质物理上的应用

Bayesian inference is a powerful tool to solve inverse problems as it provides a natural framework to deal with incomplete and noisy data. Compared to conventional methods, the Bayesian inference can not only provide an estimate to the unknown parameter but also quantify the confidence in the estimation results. However the implementation of Bayesian inference can often be prohibitively expensive, especially for high dimensional nonlinear inverse problems. The aim of this proposal is to develop efficient algorithms for high dimensional Bayesian inverse problems and in particular we focus on the type of problems where the unknowns are functions, i.e., distributed parameters. A major challenge in this type of problems is that the prior distribution often contains unknown hyper parameters and a common example is that the prior is assumed to be a Gaussian random field but the covariance matrix is not available. We propose to use an empirical Bayes method to determine the covariance matrices in the prior and we consider two different cases: a) the field is isotropic and b) the field is anisotropic. From a practical point of view, we will apply the developed methods to two major inverse problems concerned in the field of geophysics. The first problem is a full waveform inversion problem, where one infers the wave speed underground from seismic signals collected by receivers. The second problem is a subsurface water model where one infers the permeability from pressure data.

贝叶斯推断是解决反问题的一个非常有效的工具，因为它能够方便的处理不完全和带噪声的数据。与传统的方法比较，贝叶斯方法的主要优势在于它不仅可以给出反问题的解还可以对解的可靠性进行描述。然而，贝叶斯推断的计算量常常很大，特别是在高维反问题中，计算量可能会超出我们正常的计算能力。本项目的主要目的就是发展解决高维非线性反问题的有效的计算方法。特别的我们将主要解决待求变量为一个函数，或者称之为分布式参数的问题。这类问题的一个常见困难就是先验分布中含有未知的超参数，最常见的情况是，我们假设未知函数为一个高斯场，但是场的协方差矩阵未知。这里我们提出使用经验贝叶斯的方法来确定协方差矩阵。具体的，我们考虑两种情况：1）待求函数是各向同性的，2）待求函数为各向异性。应用方面我们考虑两个地质物理中的问题：1）从地震波信号使用全波形反演来推断地下介质中波的传播速度，2）地下水模型中通过测量的水压来推断水在地下介质中的渗透性。

在诸多工程与科学研究中，如地质勘探、材料科学和医学成像等，经常需要利用间接观测数据来对某些重要未知参数进行估计，而这类问题数学上常归结为对反问题予以求解。此类工作所遇到的大量实际问题(例如地震波勘探)，受到技术条件的限制，采集到完整而准确的数据几乎是不可能的，因此经常需要面对的是不完全的、带噪声的数据的反问题。由于数据的缺失和噪声，对参数的估计结果必然带有一定的不确定性;不言而喻，实际上许多至关重要的决策和决定是基于估计结果而做出的。这就要 求我们不单能给出问题的解，还要对解的不确定性进行评估和量化。为了解决这个问题本项目研究了使用贝叶斯推断的方法来解决反问题。与传统的方法比较，贝叶斯方法的主要优势在于它不仅可以给出反问题的解还可以对解的不确定性进行描述和量化。我们在本项目中特别研究了一类特殊的贝叶斯反问题：未知数为一个时间或者空间的函数，这样的问题常被称之为无穷维反问题。无穷维反问题给我们带来许多困难和挑战，其中最大的困难在于许多针对有限维贝叶斯推断发展的理论和算法不能应用在此类问题上（例如会出现一些称之为维度依赖的现象，即推断结果依赖于数值计算中选取的离散纬度），因此我们在此课题中的一个主要的任务就是开发针对此类问题特殊的理论和算法（特别是马氏链蒙特卡洛方法）。具体而言，我们完成了一下几个工作：（1）理论方面我们给出了能够适用于无穷纬反问题的非高斯先验分布并分析了其理论性质，（2）我们开发了一系列针对无穷纬问题的马氏连蒙特卡洛；（3）应用方面我们研究了此方法在地震波成像方面的应用，特别的我们针对地震波信号使用全波形反演来推断地下介质中波的传播速度问题进行了研究。