有限p群的模不变量理论及Noether问题研究

Algebraic invariant theory (AIT) is a research subject with long history and beautiful results. This subject has been applied extensively to algebraic geometry, algebraic topology and algebraic number theory. A lot of famous problems, such as Hilbert 14th problem, Noether problem and inverse Galois problem, make AIT to be a very active research direction. ..The present project studies two topics in AIT: modular vector invariant theory and Noether problem for finite p-groups. More precisely, we will answer completely the following three questions: first of all, whether or not the ring of modular 1 vector and 1 covector invariant for the general linear group over a finite field is Gorenstein algebra? Secondly, whether the Noether problem holds for all groups of order p^5? Finally, how to classify the groups of order p^6 with trivial Bogomolov multiplier?

代数不变量理论是一门历史悠久、结果丰富的研究课题；其思想方法广泛应用于代数几何、代数拓扑、代数数论等学科。许多著名的数学问题，如Hilbert第14问题、Noether问题、反Galois问题，使得代数不变量理论成为当前国内外非常活跃的研究方向之一。..本研究项目内容包括代数不变量理论的两个研究分支：有限p群的模向量不变量环及Noether问题。更准确地，本项目拟完成以下三个研究问题：第一、刻画清楚有限域上一般线性群的1向量及1余向量不变量环的结构；第二、完整地回答阶数为p^5的非阿贝尔群的Noether问题；第三、分类清楚那些带有平凡Bogomolov乘子的p^6阶群。

代数不变量理论是一门历史悠久、结果丰富的研究课题，其思想方法广泛应用于代数几何 、代数拓扑、代数数论等学科。许多著名的数学问题，如Hilbert第14问题、Noether问题 、反Galois问题，使得代数不变量理论成为当前国内外非常活跃的研究方向之一。本项目主要研究有限群线性作用在多项式环上所对应的不变量环及不变量域的代数结构，例如不变量环的Cohen-Macaulay性质及不变量域的有理性(即Noether问题)。..通过本项目的实施，我们取得了以下重要结果：第一、我们证明了有限群模不变量理论中的Bonnafe-Kemper猜测；第二、对于有限仿射模群的向量不变量环，我们证明了Derksen-Kemper的Hilbert理想界猜测是成立的；第三、我们深入研究了二维有限正交加群的向量不变量环；第四，我们找到几类重要的典型群的向量不变量域的多项式生成元。