功能梯度材料热力耦合边界元算法及其POD快速算法研究

It is of great significance to study fast numerical algorithm for thermal-mechanical coupling problem of functionally graded materials. It is helpful to the application of functionally graded materials in the field of Aeronautics and astronautics. The radial integration boundary element method has distinct advantages in the thermal mechanical coupling analysis of functionally graded materials. But there is no fast algorithm based on it up to now. Establish the thermal-mechanical coupled boundary integral equation of functionally graded materials is still a challenging issue. This project is devoted to the study of a fast algorithm based on the boundary integral equation to solve the transient thermo-elastic coupling problem of functionally graded materials. That is to introduce the proper orthogonal decomposition (POD) method into the boundary integral equation, and a fast algorithm based on the reduced order model is obtained. The basic research idea of this project is to choose the right fundamental solution and normalized physical quantities to build the varying coefficient boundary-domain integral equations. The radial integration method is used to transform the domain integrals appearing in the derived basic boundary-domain integral equations into boundary integrals, resulting in a pure boundary element analysis algorithm. On this basis, the POD model reduction method is introduced to establish a fast algorithm for thermal-mechanical coupling of functionally graded materials. This project not only can fill up the blank of boundary element method in the rapid thermal-mechanical coupling analysis under thermal shocks, but also can provide a powerful analysis method for the failure analysis of functionally graded materials.

研究大型工程中功能梯度材料热力耦合问题的快速数值算法，对推广功能梯度材料在航空航天等领域的应用有着至关重要的意义。径向积分边界元法在功能梯度材料热力分析中很有优势，但目前还没有基于它的快速算法出现。建立功能梯度材料瞬态热力耦合边界积分方程仍是一个极具挑战性的难题。本项目致力于研究一种能解决瞬态热弹性耦合效应问题的基于边界积分方程的快速算法，即将特征正交分解（POD）模型降阶方法引入到边界积分方程中,得到它的快速算法。本项目的基本研究思路是:选择合适的基本解和规格化物理量建立变系数边界-域积分方程，运用径向积分法将积分方程中的域积分转换成等效的边界积分，从而形成不需要内部网格的纯边界元算法。在此基础上，引入POD模型降阶方法，建立功能梯度材料热力耦合边界元快速算法。本项目的研究不仅可以填补目前边界元法在热冲击热弹性耦合快速求解方面的空白，还可以为功能梯度材料的受力失效分析提供有力的分析手段。

功能梯度材料能有效缓解热应力和残余应力，研究大型工程中功能梯度材料热力耦合问题的快速数值算法，对推广功能梯度材料在航空航天和众多民用科技领域的应用有着至关重要的意义。本项目致力于研究一种能求解功能梯度材料瞬态热弹性耦合效应问题的基于边界积分方程的快速算法，即将特征正交分解模型降阶方法与径向积分边界单元法相结合,得到求解功能梯度材料热力耦合问题的一个快速算法。本项目在执行期间，首先，利用近似问题的基本解和规格化物理量，通过加权余量法，推导了变系数瞬态热力耦合问题的边界-域积分方程。其次，采用径向积分法，将积分方程中的域积分转换成等效的边界积分，形成不需要内部网格的纯边界元算法，为项目实施奠定了基础。在此过程中，采用不等间隔子分技术计算近奇异积分，这样做的好处是，在保证计算精度的同时极大减少了近奇异积分的计算量，提高了刚度矩阵的计算效率。最后，引入POD模型降阶方法，建立功能梯度材料热力耦合边界元快速算法。由于边界离散后形成的微分方程中，刚度矩阵为满阵，当方程组的自由度较大时，求解方程组需要耗费大量的计算时间。故模型降阶法的引入，极大提高了计算效率，能够将成千上万个自由度的微分方程组降阶为只含有几十个甚至几个未知量的微分方程组。本项目的研究为功能梯度材料热力耦合问题的快速求解提供了新的思路，为功能梯度材料的受力失效分析提供有力的分析手段，也丰富了边界元法的应用范围。