Sarnak猜想与素数分布

素数分布是数论的核心问题之一。2006年，Sarnak提出了一个纲领性的猜想。这个猜想不仅统一了以往素数分布理论中的重要结论和猜想，而且在新的环境内，譬如n维仿射空间上态射群作用的轨道内，提出了一系列影响深远的猜想。由于这些新问题拓展了解析数论的研究范围，且与其他数学分支有着更为密切的联系，Sarnak猜想一经提出，立刻引起了国际数论界的关注。.项目申请人在与Sarnak猜想密切相关的自守L-函数理论和Waring-Goldbach问题的研究中具有一定的工作基础。因而，本项目计划按照如下研究方案开展Sarnak猜想的研究：利用推广的Selberg谱理论来建立仿射线性筛法所需要的相关分布，即某些双曲空间中的格点问题；利用改进的圆法着重研究某些半单群的同余子群在n维仿射空间线性作用轨道集中素数（或贻素数）的存在问题；利用Iwaniec双线性筛法的变体来改进Sarnak猜想的部分已有结果。

本项目研究了与Sarnak 猜想密切相关的自守形式的解析理论，建立了GL(n)上自守形式Fourier系数估计的一系列新结果。项目负责人作为第3完成人完成的“自守形式与素数分布的研究”获2014年“国家自然科学二等奖”；作为第2完成人完成的“自守形式与素数分布”获2011年“教育部高等学校自然科学奖一等奖”；独立获得“第十届山东省青年科技奖”。项目组共发表SCI论文12篇。项目负责人招收和培养研究生10名，在国际会议上做邀请报告10余次。