几何结构形变空间的几何拓扑

In this project we shall investigate certain problems in low-dimensional topology that are related to the deformation spaces of geometric structures on surfaces. More precisely, these will include the characterization of SL(2,C) character varieties of surfaces and their topological as well as dynamical properties; finding out the largest open subset of the varieties on which the mapping class group acts properly discontinuously; the relationship between the subset of primitive stable characters defined by Minsky and the Bowditch subset; locating the interior points of the non-Bowditch subset; properties of the end invariants set of a non-Bowditch character; parametrization and geometric-topological properties of some other low-dimentional spin characters; new parametrization of Teichmuller spaces of surfaces; a minimization problem in the moduli space of a surface; multiplicities of the simple length spectrum, and the monotone deformation with repect to the simple length spectrum, and some other problems.

本项目研究低维流形几何拓扑学中有关曲面的几何结构形变空间的一些问题，具体地，包括曲面的SL(2,C)特征簇的几何刻画、拓扑学及动力学性质，有限秩自由群的SL(2,C)特征簇的使得映射类群作用为不连续的最大不变开集，Minsky所定义的本原稳定特征标集合与Bowditch特征标集合的关系，非Bowditch特征标集合的内点，非Bowditch特征标的端不变量，其他低维Spin群特征簇的参数化与几何拓扑性质，曲面Teichmuller空间的新参数化，曲面模空间上的极值问题，双曲曲面的简单长度谱的重数问题，曲面的简单长度谱的单调形变等问题。

本项目研究低维流形的几何拓扑学中有关曲面的几何结构形变空间的一些问题，包括穿孔环面的满足Bowditch条件的SL(2,C)特征簇的几何性质，低维Spin群特征簇的参数化问题，穿孔环面模空间上的一类极值问题以及对应的极值曲面的确定，简单长度谱的单调形变等问题，双曲曲面的可公度分类问题，双曲几何中产生的一类非平凡的迭代函数系统，Aitiyah的线性无关性的猜测等。取得的研究结果包括：对于穿孔环面群的满足Bowditch条件的SL(2,C)特征标，得到一个全新的恒等式（这是该研究方向上的受到关注的新进展）；研究n个Z/2Z的自由积在n维复空间上的保持Hurwitz-Markoff多项式不变的多项式作用，刻画了该作用的间断性区域，并得到一个新的恒等式（这项研究开启了新的研究方向，并带来一些新的研究问题）；构造了从有序双曲三角形的模空间到欧氏相似三角形的模空间的非平凡的迭代函数系统的例子；对于双曲平面上的任意四点组证明了Atiyah的线性无关性猜测；关于在具有固定边值的所有穿孔双曲环面上，具有固定相交数k的两条简单闭测地线的较大长度的最小值问题，对于互相垂直的斜率对确定了最小曲面与最小值问题，而且对于每个正整数n及任意固定边界值，证明了斜率对1/0, 1/(n^2+1)所决定的最小长度小于斜率对1/0, n/(n^2+1)所决定的最小长度（这给出进一步的研究问题）。