多体量子系统中的Wigner定理、积态强正线性映射及相关问题的研究

Operator algebra is an important tool for the study of quantum physics, and the practical problems of physics provide new research issues for operator algebras. In Multipartite Quantum Systems (MQS for short), the state spaces are described by tensor product of Hilbert spaces. Its structure is of multipartite nonlocal complexity, and its entanglement is the important resource in quantum information science. However, it is not easy to detect. Therefore, it is necessary to study the symmetry and the entanglement criterion in MQS. This project intends to discuss the generalization of classical Wigner's theorem to MQS by using operator algebra; to study on a class of the positive linear maps on product states, by which the entanglement can be identified; to study the preserver problem related to quantum information science on operator algebras. This project possesses the special feature of raising and solving problems from the combination with operator algebra and quantum information science. The methods used in the study exhibit the composite process from single to multipartite systems. In order to show the symmetry preserving the transition probability in MQS, the structure of strong linear maps positive on product states, by which a classification basis of entanglement in MQS is obtained and a mathematical generalization for the related content in operator algebra. This project is expected to develop fundamental symmetry theory in MQS and the theory of linear maps positive on product states, and enrich the theory of preserver problem in MQS as well.

算子代数是研究量子物理的重要工具，物理学的实际问题为算子代数理论注入新的研究课题。在多体量子系统中，状态空间由多个Hilbert空间的张量积描述，其结构具有多体非局域的复杂性，其纠缠态是量子信息科学中的重要资源，但却不容易判断。因此有必要研究多体量子系统的对称性和量子纠缠判据。本项目拟用算子代数研究经典Wigner定理在多体量子系统中的推广问题；研究一类可以识别纠缠态的积态正线性映射；以及研究相关算子代数上具有张量积结构不变量的映射问题。本项目具算子代数与量子信息科学相结合的提出与解决问题的特色。使用的研究方法体现量子系统从单体到多体的复合过程；拟给出多体系统中使积态跃迁概率不变的对称，积态强正线性映射结构，并由此给出多体纠缠的一种分类依据，以及相关内容在算子代数中的数学推广。本项目期望: 在多体量子系统中建立基本的对称性理论，发展积态正线性映射理论，丰富多体系统中保持不变量的映射理论。

在量子理论中, 多体量子系统的状态空间由多个Hilbert空间的张量积描述, 其上的量子态由作用在状态空间上的密度算子表示, 因此量子状态的演化可以表示为密度算子集上的变换. 本项目重点刻画两类重要的变换, .第一类是保持纯积态跃迁概率不变的变换. 对于孤立量子系统来讲, 保持纯态跃迁概率不变的映射被称为Wigner对称, 是量子体系中经典的对称结构. 我们研究的变换可以看成Wigner对称在多体量子系统中的推广. 从所得出的映射结构看, 该推广既保留了经典Wigner对称所具有的等距性结构, 又对每个分量空间赋予恒等或共轭这两个重要的同构. 预计本结果在多体量子系统中可以起到类经典Wigner定理的作用..第二类是积态强正线性映射. 在量子信息科学中, 量子纠缠已经成为量子信息中的重要资源. 积态正映射是判断纠缠性的一个充要条件, 然而, 刻画一般积态正映射的形式是数学物理中一个重要的公开问题. 我们在有限维量子系统中加入强保持的条件, 得到了积态强正线性映射一定是所有子系统上线性或共轭线性双射张量积的形式. 我们通过纠缠性能否被积态强正线性映射所识别, 给出多体纠缠的一种重要分类..其他一些相关问题, 如分块半正定矩阵特征值的一些不等式, 张量的Comon猜想及立方矩阵的方向特征值等问题也被研究.