基于几何约束lifting技术的细分小波变换研究

随着三维扫描与互联网技术的高速发展, 特别是大规模三维数字几何模型及其处理技术的广泛应用,使得数字几何成为继声音、图像和视频之后的又一种新的数字媒体。用于三维几何模型的多分辨率细分小波技术是数字几何处理的研究热点之一。本项目主要研究满足各种几何约束的Lifting细分小波造型技术，包括：离散几何约束和参数曲线约束的表示和多分辨率造型技术；满足几何约束的Lifting操作和Lifting算子的构造方法；满足一般性几何约束的Lifting格式及其方程组的离散内积局部正交化和最优化求解技术；基于对偶细分小波的几何约束造型技术；基于插值细分的Lifting小波构造方法等。本项目将研究在细分小波中一般性的(在各阶分辨率下均保持不变的位置、切线、法向、高阶导数和参数曲线等)几何约束的处理方法，并将尖锐特征纳入统一的数学模型进行处理，以满足实际应用中多分辨率几何造型的需求；具有重大的理论意义和应用价值。

迄今为止，现有的其他细分曲面小波算法处理尖锐特征等几何约束时，均需要修改细分规则，这不仅使算法复杂、不统一，而且难以处理高阶导数约束问题(例如：曲率和二阶导数约束)。为了解决这个问题，如何构造一种既能满足各种几何约束又无需改变细分规则的细分小波就成了我们所面临的一个挑战。作为本项研究的重要贡献之一，我们以Catmull-Clark和Doo-sabin细分为例，提出了原始细分和对偶细分的几何约束lifting小波变换方法。.首先，我们提出了用于带约束的Catmull-Clark细分小波的GCLS算法，该算法中的GCLS提升(lifting)操作利用相邻分辨率的控制点之间的关系，能够相邻面片之间在不同分辨率下的几何约束保持不变，于是只需要考虑如何提升小波而无需改变任何细分规则。GCLS能够使位置、导数(切线)、法向和等参数曲线约束（特别是高阶导数约束，这是其他细分小波无能为力的）在多分辨率造型中保持不变。这改善了的细分小波的多分辨率造型能力和实用性，使具有几何约束的复杂形体的交互式多分辨率造型变得更加容易处理。而且，由于GCLS的lifting操作能够实现局部对位(in-place)计算，因此即使对于海量数据的3D多分辨率模型的交互式应用，它也十分方便、高效。.其次，我们提出了基于对偶细分的带约束lifting小波多分辨率造型方法。它也可以指定位置、导数(切线)、法向和等参数曲线约束等。我们把lifting小波可以订制的优点用于构建几何约束小波变换的框架。根据几何约束以及相邻分辨率的网格控制点之间的关系，我们导出了lifting参数的一个线性方程组，从而可以得到既能满足几何约束又无需改变对偶细分的细分规则的提升操作规则。与GCLS一样，对偶提升算法也可以实现局部对位(in-place)计算。.我们的带几何约束的lifting小波变换方法能够满足实际应用中多分辨率几何造型的需求；具有重大的理论意义和应用价值。.另外，我们还提出了任意元3点逼近细分的统一算法，该算法具有更小的支撑，其计算量小、逼近误差界也小；现有的许多3点细分算法和4次均匀B样条曲线都可以作为该算法的特例。而且，我们还提出了非均匀B样条的显式表示公式，使之计算效率更高。.最后，我们还提出基于矩阵值Loop细分的双正交小波的几何压缩算法，它采用局部提升操作，因此占用内存小、计算高效；压缩比大，曲面拟合质量高。