常负曲率平面的分形Tiling构造及其艺术图案可视化

Fractal tiling with constant negative curvature (FTCNC) is a new kind of tiling which possesses both the characteristics of fractal and tiling. For the curly characteristic of space and various scale prototiles' zigzag connection, its existence condition, construction method and the computation of fractal dimension are far more complex than Euclidean fractals. So far nobody has successfully constructed FTCNC that of strict mathematical sense. Based on non-Euclidean geometry, fractal and tiling theory, this project plans to clarify the existence condition and construction method of FTCNC. In view of the situation that prototiles' boundaries are not geodesics and the prototile set lacks group structure, introducing numerical Schwarz-Christoffel conformal mapping to conformally correct prototiles, which aims to overcome the gap and overlap defects of popular approaches. According to the numerical overflow dilemma of the classical self-similar dimension algorithm, constructing joint recursive matrix recording boundary information and exploring the matrix solution of the fractal dimension of FTCNC. The project lies in the cross domain of the non-Euclidean geometry, fractal, tiling and computation method. We intend to study the representative FTCNC to clarify the existence condition, construction method and boundary dimension problems of general FTCNC, which aims to establish the basic theoretical framework of the new kind of geometry object and provide key algorithms for the visualization of FTCNC.

FTCNC是常负曲率平面上兼具分形和tiling特征的新型几何对象。因空间的卷曲特征，且各尺度分形模板的衔接犬牙交错，其存在条件、构造方法和分形维计算，都远较欧氏分形复杂，目前尚无学者构造出具有严格数学意义的FTCNC。本项目拟以非欧几何、分形和tiling为基础，厘清FTCNC的存在条件和允许类型；鉴于FTCNC模板边界非测地线、对称集欠缺群结构的状况，引入Schwarz-Christoffel映射对模板作保形矫正，藉此克服流行构造法存在的tiling间隙和交叠缺陷；针对经典自相似维算法面临的数值溢出困境，通过推导记录FTCNC边界信息的递推矩阵，探讨其分形维的矩阵解法。本课题处于非欧几何、分形、tiling和计算方法的交叉领域，拟通过研究具有代表性的FTCNC，阐明一般型FTCNC的存在条件、构造方法及其维数计算问题，建立此类新型几何对象的基本理论框架，为其可视化提供关键的算法基础。

分形是自然的语言，已广泛应用到各个领域。双曲几何解决了两千年来悬而未决的平行公设问题，引起几何与空间概念的深刻革命，是20世纪相对论产生的前奏和准备。本项目探讨课题处于分形、双曲几何、tiling和计算机可视化的交叉领域，拟在常负曲率空间构造一类学界尚未深入探讨过的分形tiling(简称常负曲率分形tiling，fractal tiling with constant negative curvature, FTCNC)。FTCNC兼具分形和tiling特征，但栖身于卷曲的非欧几何空间，因而与经典分形、tiling或双曲 tiling存在本质区别。FTCNC的探讨，对丰富和拓展分形学，加深人们对负曲率空间tiling的认识，阐明FTCNC的本质，都具有特殊意义。 .应用组合数学，我们严密论证了FTCNC的存在条件和允许类型。通过引入保形原理，我们阐明具有严格数学意义FTCNC的几何变换需具备的性态。借助构造蕴含边界信息的联合递推公式，用矩阵工具提取 FTCNC 的维数信息，规避经典自相似维数算法面临的数值溢出困境，巧妙给出FTCNC边界分形维的计算方法。我们构造的FTCNC没有间隙没有交叠，具有分数维特征。根据FTCNC的分形与tiling特性，建立与其协调的VAP方法，藉此应对FTCNC模板众多、衔接方式错综复杂的局面，成功实现FTCNC的艺术图案可视化工作。.本项目研究内容处于数学、艺术和计算机的交叉领域，研究成果不仅具有深刻的学术价值，与Escher艺术结合后还具有良好的美学和经济价值，通过把Escher设计与中国传统文化深度嫁接(如雕刻、丝绸、瓷器)，研究成果有很好的美学潜力和文化输出作用(请微信扫描成果报告部分，了解详细案例)。