G-期望框架下的随机控制理论及其在金融中的应用

The basis of this project is the theory of backward stochastic differential equations under the G-expectation framework, the core of this project is the theory of stochastic optimal control, the goal of this project is the application in finance. (1) Firstly, we systematically study the theory of backward stochastic differential equations under the G-expectation framework, which contains multi-dimensional, ergodic backward stochastic differential equations and so on, and enrich the limited results in this field; (2) Then, we deeply study the dynamic programming principle, HJB equation and maximum principle for the control system of forward- backward stochastic differential equations, and improve the corresponding stochastic optimal control theory; (3) Finally, we study the pricing and risk measure of derivative securities under uncertainty, and apply the stochastic optimal control theory to the real financial problems. Since G-expectation does not satisfy additivity, the classical methods do not hold. By the study of this project, we hope to establish systematic methods to deal with this kind of problems.

本项目以G-期望框架下的倒向随机微分方程理论为基础，以随机最优控制理论为核心，以金融中的应用为目标。（1）首先我们系统研究G-期望框架下的倒向随机微分方程理论，包括多维和遍历倒向随机微分方程等内容，丰富这一领域有限的结果；（2）其次我们深入研究G-期望框架下正倒向随机微分方程控制系统的动态规划原理、HJB方程和最大值原理，完善相应的随机最优控制理论；（3）最后我们研究不确定环境下衍生产品的定价和风险度量，将随机最优控制理论应用于实际的金融问题。由于G-期望不满足可加性，经典的方法不再适用。通过该项目的研究，我们希望建立一套系统的方法来处理这类问题。

G-期望理论是彭实戈院士于2004-2008年期间基于研究股票波动率的不确定性提出的一个崭新的概率论研究领域。本项目旨在研究G-期望框架下的倒向随机微分方程理论，基于此类方程的随机递归最优控制问题及其在金融中的应用。通过对这些问题的研究，本项目取得了如下主要成果：（1）建立了遍历G-倒向随机微分方程理论，为研究全非线性偏微分方程的大尺度性质和不确定情形下的遍历性控制问题提供了工具；（2）建立了随机递归最优控制问题的全局最大值原理，首次给出了求解倒向随机微分方程一阶和二阶变分的方法，彻底解决了彭实戈院士1998年提出的第四个公开问题；（3）建立了完全耦合正倒向随机控制系统的动态规划原理、全局最大值原理及其之间的关系，特别地解决了彭实戈院士1998年提出的第六个公开问题中粘性解的唯一性；（4）建立了模型不确定情形下随机递归最优控制问题的最大值原理，引入了一种弱收敛的方法，为进一步研究不确定性情形下的投资决策问题提供了工具；（5）建立了无穷区间G-正倒向随机控制系统的动态规划原理及值函数满足的全非线性椭圆型偏微分方程，提出了将此类方程转化为全非线性抛物型方程来得到粘性解唯一性；（6）建立了关于停时条件G-期望的定义，基于此得到了一类G-随机微分方程解的强马氏性，为进一步研究不确定情形下的博弈问题提供了基础。