拟圆周的 Hausdorff 维数与万有 Teichmuller 空间

The theories of quasiconformal mappings, the Teichmuller space and the fractal dimensions of curves are important branches of modern mathematics and there are lots of mathematicians interested in these fields. The program will be devoted to the research on the relations between the Hausdorff dimensions of quasicircles and the theory of the Teichmuller spaces. The program will focus on three problems: The first one is the sharpness of the distortion of Hausdorff dimension of the unit circle under K-quasiconformal mappings; the second one is the connectivity of the set consisting of Lavrentiev curves in the universal Teichmuller space; the last one is the problem of the analyticity of the Hausdorff dimension of quasicircles which are compatible with some groups. Meanwhile we shall also try to give the link between the differentiability of the quasisymmetric homeomorphisms and the Hausdorff dimensions of quasicircles. The study of the program will enrich the results of the theories of quasiconformal mappings, the universal Teichmuller space and the fractal dimensions of curves, and provide theoretical basis for other subjects.

拟共形映射、Teichmuller 空间和曲线的分形维数理论都是当今数学的重要研究分支，一直都是人们非常关注的课题。本项目致力于研究拟圆周的Hausdorff 维数与 Teichmuller 空间之间关系，旨在解决三个方面的问题：一、单位圆周在K 拟共形映射下 Hausdorff 维数偏差的上确界的精确性问题；二、Lavrentiev 曲线所对应的元素在万有 Teichmuller 空间的连通性问题；三、研究与群相容的拟圆周Hausdorff 维数的实解析性问题。同时我们也试图给出拟对称同胚的可微性与拟圆周 Hausdorff 维数之间的关系。这些研究结果必将能丰富拟共形映射、 万有 Teichmuller 空间和曲线分形维数理论，并为其他相关学科的研究提供理论依据。

拟共形映射、Teichmuller 空间和曲线的分形维数理论都是当今数学的重要研究分支，一直都是人们非常关注的课题。本项目致力于研究拟圆周的 Hausdorff 维数与 Teichmuller 空间之间的关系.. 经过三年努力，我们解决了三方面的问题：一、我们给出了拟对称同胚在一点的可微性与局部 Hausdorff 维数之间的关系；二、我们致力于研究 Lavrentiev 曲线所对应的元素在万有 Teichmuller 空间中的连通性问题，我们证明了多边形拟共形映射对应的拟圆周为弦弧曲线并证明了所有多边形映射对应的弦弧曲线为一道路连通集合；三、我们分别用对数导数和 Schwarz 导数模型研究万有 Teichmuller 空间的子空间 Besov 空间，进一步我们证明了对数模型下 Besov 空间有无限多连通分支，并给出了 Bers 投影是全纯的。. 这些研究结果使得本项目达到了预期的研究目标，他们丰富了拟共形映射、万有 Teichmuller 空间和曲线分形维数理论，并为其他相关学科的研究提供理论依据.