非离散系统中的可计算性和计算复杂性研究

在科学和工程计算中的各种应用问题的数学模型基本上都是非离散结构，而经典的可计算性和计算复杂性理论探讨的则是离散结构中的计算问题。在实际的计算过程中，人们往往用离散的计算结果来逼近非离散问题的答案。然而，逼近过程中的误差积累很可能会影响到计算结果的准确性。能性分析（Effective Analysis）就是要为此提供一种比较可行的解决方法。在本项目中我们将应用能行性分析的基本思想，深入地展开有关非离散系统中可计算性和计算复杂性的研究。鉴于绝大多数非离散系统的数学模型都是以实数为基础的，我们将重点展开关于实数及实函数的可计算性及计算复杂性问题的探讨。根据其可计算的程度，建立一种能行性分层。在此基础上，我们还将系统探讨实曲线的可计算性和计算复杂性问题。这将为各种运动轨迹的计算和分析提供新的理论基础。本项目的研究旨在建立一个完整的"可计算实数理论"从而为非离散结构中的能行性研究奠定理论基础。

本项目探讨有关非离散系统中的可计算性和计算复杂性的问题。重点研究了下列两类非离散结构：第一类是与实数相关的结构，如实变量函数和平面上的实曲线等。第二类结构是与各种偏微分方程解算子有关的一类特殊的函数空间。最重要的研究方法是，充分利用已有的对实数，实函数，实曲线以及各类偏微分方程的数学研究成果，借助于可计算分析中的表示理论，完成有关连续性个体的可计算和计算复杂性的研究。.对于第一类结构，我们把经典的可计算实函数的概念加以推广。利用Cauchy表示的各种弱化，引进并系统地讨论了弱可计算的实函数概念，使得对非连续性实函数的能行性探讨成为可能。另外，我们探讨了可计算实曲线的问题，并根据曲线的解析复杂性和计算复杂性，引进了相应的分层。由于实曲线是对粒子运动轨迹的自然描述，这种研究将在物理以及机器人研究领域会得到广泛的应用。 .为了研究微分方程解算子的可计算性问题，我们应用了Weihrauch等创立的二类能行性理论框架，用表示理论的方法把可计算性概念引进到诸如Sobolov空间等函数空间中来。结合傅立叶变换、压缩映像原理、索伯列夫空间的有关数学知识和技巧，证明了一大批具有应用价值的非线性偏微分方程的解算子是可计算的。其中包括：KdV-Burgers方程，MKdV方程，GKdV方程，CKdV 方程，Schrödinger-Boussinesq方程，Coupled Schrödinger-Boussinesq方程，Nonlinear Heat Conduction 方程，Zakharov方程，Gardner方程，Camassa-Holm方程，Ostrovsky方程，Aceive方程，Klein-Gordon方程等。这些方程都是大量实际应用问题的数学模型，我们的研究将有助于为大量的工程计算和科学计算问题开发设计更为能行有效的算法和计算软件。这些对各种方程解算子可计算性的单独讨论，为我们下一步更为一致性的理论研究打下了很好的基础。我们下一个目标将是试图为各类微分方程解算子的可计算性找出一种一致性的判别标准。.总之，在本项目的资助下，不仅让我们解决了许多有关可计算性的重要的理论问题，更为重要的是，使我们有机会开辟了一个全新的研究新领域，即如何充分利用已有的纯数学的研究成果，使之更好地应用到实际问题的计算过程中去。这将具有非常重要的科学意义和极其广泛的实际应用价值。