带边几何流解的存在性和收敛性

Geometric flow is an important method in studying Geometric problems. Until now most of the results about Geometric flow are on closed manifolds or on complete noncompact manifolds. This project will concentrate on the studies of the Geometric flows on manifolds with boundary. The content includes (1) we will use the results of PDE systems with boundary and initial problems to study the short time existence and regularities of some Geometric flows with boundary, (2)we will study the long time existence and convergence of the Geometric flows with boundary. (3)we will find the conditions on the boundary to preserve the sign of the curvature under the Geometric flows and will study the Li-Yau-Hamilton estimate under Geometric flow with boundary.

几何流是研究几何问题的一个重要方法。大多数几何流的研究是关于闭流形和完备非紧流形的。本项目主要考虑带边流形上几何流的相关问题。具体内容如下：我们首先利用偏微分方程组初边值问题的结果研究一些带边几何流初边值问题解的短时间存在性和正则性。然后分析带边几何流的长时间存在性和收敛性。最后研究带边几何流上曲率保号的条件，并讨论带边流形上的Li-Yau-Hamilton估计。

在本项目中， 我们研究了带边几何流的一些问题。1, 我们研究了带边黎曼流形上Ricci-Bourguignon 流解的短时间存在性。2,我们研究了带边黎曼流形上.带约束的微分Harnack估计。3.我们研究了在闭流形上共形Ricci流解的倒向唯一性。4. 我们研究了在渐近平坦流形上ADM 质量在Yamabe流下单调性。5.我们考虑了带磁场的Schrodinger-Poisson方程的多解和集中行为， 证明了解的个数和位势极小值的拓扑之间的关系。6. 我们还考虑了一些有关集值映射的问题。