正系统关键动力学性质研究

在许多系统中都存在一类取值为非负的量，如物理学中绝对温度、物质密度、电位高低，化学中反应物的浓度、生物学中虫口数量等。正系统是状态为非负的动力学系统，在理论和实践中有着重要的应用。近十年来，正系统的动力学性质得到了广泛的关注。从总体上讲，现在的成果主要集中在确定性的线性正系统框架内，所用方法不易推广到时变正系统。本项目研究与时变因素有关的下列四类正系统的关键动力学性质：建立稳定性判据、提出控制器设计方案和建立有界控制准则。一、时变时滞正系统，包括含有无界时滞的情形。二、系统矩阵是时变的时变正系统，包括含有常时滞和时变时滞的情形。三、含有常时滞和时变时滞的切换正系统，包括系统矩阵是时变的情形。四、含有常时滞和时变时滞的2-D正系统。解决上述问题不仅可以突破正系统领域发展的瓶颈，还能为研究一般动力学系统(至少是其中的某些类型)的性质提供新的思想和方法，具有十分重要的意义。

本项目立足于正系统的内在属性，采用原创的思想和独到的方法，全面研究了正系统的性质，建立了系统的正系统动力学性质体系，有力地推动了正系统在控制领域的发展。本项目所取得的主要成果有：1. 首次建立了连续时间和离散时间时变时滞正系统渐近稳定的充分必要条件，其中包括无界时滞情形，采用了独创的“覆盖法”。2. 首次在学术界研究了切换时滞正系统的稳定性，建立了其在任意切换信号下渐近稳定的充分条件，并得到了含时滞标量切换系统渐近稳定的充分必要条件。3. 建立了完整的含有不确定性的正系统的鲁棒镇定充要准则和有界控制器存在的充要条件，给出了设计这些控制器的具体方法。4. 首次给出了在时滞有界的条件下，时变时滞正系统的渐近稳定性和指数稳定性之间的等价关系，并构建实例说明当时滞无界时，这两类稳定性一般不能等价。5. 建立了时变时滞2-D正系统渐近稳定的充分必要条件，包括含有无界时滞的2-D正系统。6. 建立了周期正系统的正性判定准则和渐近稳定的充要条件。7. 建立了对偶切换系统在任意切换信号下4种动力学性质(弱吸引性，吸引性，渐近稳定性和指数稳定性)之间的等价关系，为研究切换系统的稳定性提供了新的途径。8. 首次讨论了非线性时滞切换正系统的性质，证明了当非线性项在原点的导数为零时，系统局部渐近稳定当且仅当所对应的线性时滞切换正系统渐近稳定。建立了在非线性项在原点的导数为零的情况下，非线性正系统局部渐近稳定的充分必要条件。本项目不仅全面研究了正系统的各种性质，为项目组积累了丰富的研究经验和充分的研究成果，而且启发了项目组在新的方向和领域展开深入研究，为我们今后继续探索正系统和深入研究其他相关领域(特别是切换系统和切换正系统)奠定了坚实的基础。