一类具有营养质的反应扩散模型正解及大时间行为

In the research of the diffusive chemostat, it is the first purpose that the existence, uniqueness and stability of positive steady-state solutions is studied in the case that the maximal growth rate is related to the spatial variable. Second, as to the case of the variable yield which is dependent on the nutrient,the diffusive chemostat model is first established, then the positive steady-state solution and the periodic solution is investigated. Next, we establish the food cycle model of the diffusive chemostat with Ellner type, and study positive steady-state solutions, the Hopf bifurcation and their dynamical behavior. Finally, we do the research systematically on the positive steady states and longtime behavior with respect to the diffusive chemostat with two nutrients and two sepcies in the substitutable case. In the past decades, our research group has been engaged in the chemostat model with diffusion, especially in the diffusive chemostat with multiple nutrients and the plasmid-brearing. The combination of the background of models,the mathematical analysis and simulation is always the effective way for us. The research of this project is the central and difficult area, and we hope that it is going to push both the research of the chemostat with diffusion and the academic level of young researchers to a higher one.

在扩散恒化器模型研究中，本项目首次考虑模型中最大生长率与空间变量的关系，研究其正解存在唯一性、稳定性；首次建立转化率与营养质有关的扩散恒化器模型，并研究其正平衡解及周期解的性质；建立Ellner型扩散恒化器食物链模型并就其正平衡解、Hopf分歧解及其动力学行为进行研究；系统研究双营养质双微生物可替代型扩散恒化器模型正平衡解的存在性及大时间行为。本课题组长期从事扩散恒化器模型研究，在多营养质模型和具有质载的扩散恒化器模型的研究中形成了自己的研究方向。关注模型背景、巩固已有研究经验、借鉴相关反应扩散模型的研究方法并辅以数值模拟和数值分析，一直是本课题组取得进步的有效途径。本项目的研究既具有相当的难度，又是该领域的热点问题，也将提升扩散恒化器模型的研究层次, 提高青年研究人员学术水平，逐步形成我国学者在该领域的研究优势和特色。

恒化器竞争模型是一类重要的数学模型，涉及微生物生态学、数学等领域，由于这类模型可模拟自然系统，为实验科学家对关键数据进行分析提供了可能。而具有扩散的生物种群模型也是生物数学界备受关注的问题，与扩散恒化器模型有着密切地联系，其研究方法和手段可相互借鉴。这些模型的研究一直以来都是国际学术界的热点问题。本项目主要研究这两类模型正平衡解的存在唯一性、稳定性、周期解及大时间行为。对非均匀恒化器竞争模型，研究了具有一般反应项的非均匀恒化器竞争模型正解的存在性和多重性，得到了具有外抑制剂的非均匀恒化器竞争模型正平衡解的稳定性和唯一性，研究了一类浮游生物竞争生态系统解的渐进行为以及正解存在的参数范围和毒素对具有质载的非均匀恒化器竞争模型共存解的存在性、唯一性以及多解性的影响，对具有循环和毒素的非均匀恒化器竞争模型，研究了空间非均匀对这类问题的影响，给出了平衡解的双稳性及共存解的存在性，对一类过氧环境下微生物竞争模型，得到了两资源单微生物问题解的唯一性、渐进性，而对两资源双微生物竞争模型，给出了其共存解的存在性细致分析，同时进行了大量的数值模拟，这些模拟揭示了竞争互斥性及共存性。而对扩散生物种群模型，研究了一类具有BD反应项的竞争模型和互扩散竞争模型解的存在唯一性等定性性质。对一类具有Degn-Harrison格式的反应扩散模型和生物衰减模型，给出了其常数平衡解的稳定性及单重退化点和二重退化点处的分歧结构，以及极限状态下解的唯一性及稳定性，并对其对应抛物系统的大时间行为进行了研究。