常平均曲率超曲面和自收缩子的分类、稳定性和刚性研究

Constant mean curvature (CMC) hypersurfaces and self-shrinkers are two important kinds of submanifolds, which are of important theoretical significance and research value. This project centers around three kinds of problems in geometry of submanifolds: classification, stability and rigidity. Precisely speaking, we focus on the following three aspects. ..(1) By a series of theories, methods and concepts such as elliptic PDEs, Alexandrov’s moving planes argument and H-potential, we will study embedded CMC tori in 3-dimensional homogeneous spaces and metric Lie groups, and plan to obtain the complete classification of these surfaces. ..(2) By looking for suitable test functions, we will estimate the second eigenvalue of the Jacobi operator corresponding to CMC surfaces in 3-dimensional homogeneous spaces, and obtain some criteria for stability of CMC hypersurfaces in certain warped product manifolds. Meanwhile, we will study the F-stability and index of high codimensional self-shrinkers...(3) We will study rigidity of self-shrinkers in arbitrary dimensions and codimensions under some weaker conditions, and obtain some gap theorems, from which we characterize some special self-shrinkers...This project will enrich and perfect research on CMC hypersurfaces and self-shrinkers.

常平均曲率超曲面和自收缩子是两类重要的子流形，具有重要的理论意义和研究价值。本项目将围绕这两类子流形中的分类、稳定性和刚性问题进行研究。具体来说有如下三方面：..（1）用椭圆偏微分方程、Alexandrov移动平面法、H-势等理论、方法和概念，研究三维齐性空间和度量李群中的嵌入常平均曲率环面并给出其完全分类。..（2）通过寻找适当的试验函数，估计三维齐性空间中常平均曲率曲面的Jacobi算子的第二特征值，并得到某些扭曲乘积流形中常平均曲率超曲面的稳定性判定法则；研究高余维自收缩子的F-稳定性以及指标问题。..（3）研究任意维和余维的自收缩子在某些弱条件下的刚性，得到间隙定理，从而刻画某些特殊的自收缩子。 ..本项目将丰富和完善关于常平均曲率超曲面和自收缩子的研究。

子流形几何是整体微分几何的重要分支。本项目将围绕某些特殊子流形中的分类、稳定性和刚性问题进行研究。按照研究计划，我们取得了如下一系列研究成果：(1) 我们得到空间形式中的闭子流形上一类广泛的椭圆算子（含Schödinger型算子）的第二特征值的最优外蕴上界估计；(2)我们得到了空间形式中的闭子流形上的p-Laplacian算子第一非零特征值的全新上界估计；(3)我们得到 Sⁿ(1)×S¹(r) (n>2, r²≥ 1/(n-1))中指标为1的闭极小超曲面的完全分类；(4)我们得到积分Ricci曲率下，空间形式中具有平行平行曲率的闭子流形的一个拼挤定理；(5)我们证明了积分Ricci曲率条件下，关于紧流形中区域上Dirichlet问题特征函数的一个反向Hölder不等式，以及区域torsional rigidity的一个等周不等式；(6)我们得到了截曲率有上界的外围空间中闭子流形上p-Laplacian算子的第一非零特征值的Reilly型上界估计。其中(1)(2)已发表，(3)已接收，(4)(5)(6)正在审稿中。