非线性可积系统的广义对称和守恒律及其应用研究

The generalized symmetries response the rule of structure for the nonlinear integrable systems (NIS), the conservation laws reflect the characteristic of motional variations for NIS. Many scholars studied the generalized symmetries, conservation laws of NIS，and some interesting results are obtained frequently. But there are no any reports on some discussions related to the Riemann symmetries, renormgroup symmetries, “sum form” symmetries, the relationship of the conservation laws and properties of given system up to now. The project is devoted to the study of the following problems: (1) We study the above generalized symmetries and its algebraic structure; (2) We study deeply the relationship of the symmetry/ adjoint symmetry pair method and direct method etc., based on those, we will achieve to determine some symmetry-invariant conservation laws etc. of the given system; (3) The techniques for the infinite conservation multipliers of linearizing problems are investigated, and to solve the difficulties in constructing for the isomorphism (or hommorphic) mappings about the linearizing problems and educing the infinite dimensional Hamiltonian operators from linearizing systems；(4) On the basis of the known generalized symmetries, conservation laws and linearizing channel, to study the practices for several solving methods. Furthermore, we introduce the above results into the area of the mechanics and mathematical physics, which would be a good mathematical foundation for some applications.

广义对称反应非线性可积系统结构的规律，守恒律反映非线性可积系统运动变化的特征。许多学者研究非线性可积系统的广义对称和守恒律，并得到了一些有趣的结论，但至今未见有关非线性可积系统问题Riemann对称、重整化对称和“和式”对称及守恒律与给定系统属性之间关系的深入讨论。本项目主要研究如下问题：（1）研究几类非线性可积系统上述广义对称及其代数结构；（2）深入研究对称—伴随对称“对”方法与直接方法之间的关系等，在此基础上完成判断对称—不变守恒律等问题；（3）考察无穷守恒因子在线性化问题中的技巧，解决线性化同构（或同态）映射的构造及从线性系统导出无穷维Hamilton算子等难点；（4）基于已得广义对称、守恒律和线性化渠道，研究几类求解方法的实践。此外，将上述结果应用于力学和数学物理领域内，为有关应用提供数学依据。

对称反应非线性可积系统结构变化的规律，守恒律反映非线性可积系统运动变化的特征，各类解揭示非线性可积系统的物理属性。至此，许多学者研究非线性可积系统的广义对称和守恒律，并得到了一些有趣的结论，但一直缺乏对有关非线性可积系统Riemann对称（非经典对称）、重整化对称和“和式”对称方面的研究，且没有对现有守恒律构造方法之间的关系研究。本项目主要研究内容和重要结论：（1）研究几类非线性可积系统的对称，推出非线性双曲可积系统的Riemann不变量（不变解）和幂级数形式无穷多个对称、非线性 耦合孤子系统对应的“和式”Lie对称递推结构；（2）研究对称—伴随对称“对”方法与直接方法、Ibragimov新守恒定理等之间的内在关系，发现Ibragimov的新守恒定理是对称-伴随对称“对”方法的特殊情形，并通过引入散度化策略和乘子函数 ，优化扩展Cheviakov的递推公式；（3）考察无穷守恒因子在线性化问题中的技巧，从守恒律构造过程导出线性算子和线性化系统，取得了零属于数值域的充分必要条件，进而解决P. Psarrakos 和 M. Tsatsomeros提出的零属于数值域公的开问题；（4）基于已得广义对称、守恒律和线性化渠道，研究几类求解非线性可积系统的方法，如结合微分约束条件和守恒律求解出非线性可积系统的精确解,助于幂级数形式对称和守恒乘子分别推出非线性双曲可积系统的相似解和线性化。. 这些研究成果对丰富非线性可积系统的属性及其应用方面具有良好的学术价值，为有关力学和数学物理领域内相关问题提供数学依据。