高维空间中反应扩散方程的非平面行波解

It has been found that there exist nonplanar traveling wave solutions with a variety of different shaped level sets by experimental observations and numerical calculations in combustion theory, chemical reaction and other disciplines. Therefore, it becomes very practical significance to find and characterize nonplanar traveling wave solutions via mathematical research. On the other hand, the spatial and temporal heterogeneity is also an important issue in the study of traveling wave solutions of reaction-diffusion equations. Especially, it is very worthy to consider the space-time periodic reaction-diffusion equations. This project studies nonplanar traveling wave solutions in spatially homogeneous reaction-diffusion equations (systems) and spatially periodic reaction-diffusion equations in high-dimensional space. The research contents include the existence, uniqueness, stability and qualitative properties of the nonplanar traveling wave solutions, as well as the shape and nature of level sets of the traveling wave solutions. By developing new methods and techniques, we establish the general theory on nonplanar traveling wave solutions, reveals the complex phenomenon of wave propagation and the complex dynamical behaviors of the equations in high-dimensional space, and promote the development of the theory of traveling wave solutions of reaction-diffusion equations. In addition, due to the effect of time delay in population invasion and the spatial spread of infectious diseases, this project also studies the existence, uniqueness and stability of pulsating traveling wave solutions in space periodic reaction-diffusion equations with delay, and discusses the influence of time delay and spatial period on qualitative properties of traveling wave solutions and minimum wave velocity.

在燃烧理论、化学反应等学科的实验观察和数值计算中已经发现了具有多种不同形状水平集的非平面行波解， 所以通过数学研究来寻找和刻画可能存在的非平面行波解就成为非常具有现实意义的问题。另一方面，时间和空间非齐次问题也成为行波解研究要考虑的重要因素，特别是时间和空间周期的反应扩散方程。本项目将综合运用现代数学理论研究高维空间中空间齐次反应扩散方程(系统)以及空间周期反应扩散方程的非平面行波解，包括存在性、唯一性、稳定性和定性性质，以及其水平集的形状和性质。通过发展新的方法和技巧，建立非平面波的一般理论，揭示高维空间中波的复杂传播方式和方程的复杂动力学行为，促进反应扩散方程行波解理论的发展。另外，由于时滞的因素在种群入侵、传染病空间传播等领域是不可避免的，所以本项目也将研究受时滞影响的空间周期反应扩散方程的脉动行波解的存在性、唯一性和稳定性，讨论时滞和空间周期等对行波解性质、最小波速等的影响。

本项目针对高维空间中反应扩散方程的非平面波、传染病扩散模型的阈值动力学和空间传播、非局部扩散发展方程的稳态解、非局部时滞反应扩散方程的行波解等问题展开了研究，项目进展顺利，达到预期目标。主要内容和成果包括：（1）建立了非平面波的存在唯一性和稳定性，包括具有点火型和非KPP单稳型反应扩散方程的V形波和棱锥波、时间周期L-V系统的V形波和双稳定反应扩散系统的棱锥波。通过发展新的方法，对双稳型时间周期反应扩散方程和强竞争的L-V系统建立了柱状对称波的存在性、不存在性和其他性质。在高维空间中建立了时空周期单稳型反应对流扩散方程的棱锥波的存在性、不存在性、单调性及其最小波速对于系数的依赖性。（2）建立了受季节更替、空间扩散、疾病潜伏期、感染期、年龄阶段结构等影响的时滞周期（概周期）传染病模型，定义了基本再生数，建立了基本再生数与模型线性化算子主特征值之间的关系，进而获得了传染病持久与灭绝的阈值动力学。通过发展新的方法，建立了几类传染病模型的行波解的存在性和不存在性，讨论了各类参数对最小波速的影响。（3）分别对一类空间退化的非局部扩散方程和一类时间周期非局部扩散方程在零点处的线性化算子建立了主特征值，讨论了其关于参数的依赖性，进而建立了该方程正稳态解和正周期解的存在性和稳定性。借助于零点处线性化算子的主特征值，对一类周期发展区域上的Logistic方程建立了种群持久和灭绝的充分条件， 进而分析了区域变化对物种持久生存的影响。（4）借助于度理论以及不动点理论，对两类非拟单调的非局部时滞反应扩散方程建立了行波解的存在性和不存在性，该行波解连接零平衡点到一个未知正稳态。对特殊的核函数，通过数值模拟发现随着非局部作用的增强，该未知的正稳态可能是一个周期稳态。进一步，通过稳定性分析解释了为什么会出现周期稳态以及什么时候会出现周期稳态。对时间周期的非单调时滞单种群模型建立了渐近传播速度、行波解的存在性和不存在性。