与星覆盖性质及对偶性质相关联的拓扑问题研究

Topology is the foundations of the?basic mathematics. The applications of topology in analysis and algebra makes the the field of the basic mathematics wider and wider. In recently,there are more topologists pay attention to star covering properties, monotone covering properties, and daul properties which relates to covering properties. . We will study the problems that whether the extent of a normal star-Lindel?f space has the continuum cardinality and whether there exists an (a)-Dowker space. At the same time we will study the properties of different star-covering properties with certain topological properties. We will study the daul properties of monotone covering properties, monotonically mormal paracompact spaces, and subspaces a finite product of ordinals. We will study the properties of a tree and a its subspaces and study some equivalent conditions of a tree to be a D-space. We will study the D-property of some special classes of topological spaces and study the covering properties of some special classes of topological spaces which have the D-property..We will also study some problems which relate to D-spaces in the class of topological groups (or rectifiable spaces). . By the studying of covering properties and daul properties, it will not only develop the theory of covering properties and daul properties, but also promote the development of the theory of ordered spaces and topological groups.

拓扑学是基础数学研究的理论基础，它在分析、代数等领域的不断应用使得基础数学的研究领域更加宽泛。最近一个时期以来，覆盖理论中的星覆盖性质、单调覆盖性质及与覆盖性质相关的对偶性质的研究十分活跃。我们把D-空间、离散对偶空间性质统称为对偶性质。.本项目将研究正规的星 Lindel?f空间的 extent是否具有连续统基数问题及是否存在(a)-Dowker空间问题，同时研究在一定拓扑性质下的不同星覆盖性质的表现形式等问题。研究单调覆盖性质、单调正规的仿紧空间及序数有限积空间的子空间的对偶性质。研究树及其子空间的性质并研究一树是D-空间的等价条件。研究某些特殊空间类的D-空间性质及具有D-性质的某些特殊空间类的覆盖性质，并研究拓扑群（或Rectifiable 空间）中与D-空间相关联的问题。. 对覆盖及对偶理论的研究不但促进覆盖与对偶理论的发展，而且还能带动序空间及拓扑群等相关理论的发展。

覆盖性质、星覆盖性质、函数空间及拓扑代数是一般拓扑学中非常重要的研究方向。经过4年的努力，我们项目组在上述几个方面取得了非常有意义的科研成果，解决了几个公开问题。4年来，我们团队在上述多个方面取得突破, 共发表文章51篇，其中SCI文章40余篇，取得的主要成果如下：. 在D-空间及与之相关的领域： 研究了D-空间的某些充分条件并讨论了其应用，得到具有闭包保持链(F)性质的拓扑空间是D-空间；证明了单调正规空间是与秩不超过2的散布空间对偶的，证明了单调正规的广义树是D-空间。研究了单调亚Lindelöf空间。证明了有限积是D-空间的空间类的\sigma积空间是D-空间，这样推广了许多已有的结论。同时证明了在一定条件下按点收敛的函数空间是D-空间是Monolithic空间。研究了某些树的D-空间性质，研究了L-special树乘积空间的D-空间性质。通过D-空间的研究我们还研究了离散生成空间、紧连续函数、紧可度量、一致空间及cut空间等空间或拓扑概念的拓扑性质, 研究了函数空间及广义序拓扑空间上由有限个分段点的分段函数构成的函数空间的拓扑性质。. 在拓扑代数方面：我们得到半拓扑群的T2 reflection的商空间刻画，从而解决了M. Tkachenko的公开问题，研究了拓扑群及可修正空间的拓扑性质，解决了Arhangel’skii等人的问题，研究的半拓扑群反射的应用及三空间性质。. 在星覆盖性质方面：构造了一个Tychonoff 伪紧SCE的非星Lindelöf空间, 否定的回答了Rojas-Sanchez和Tamariz-Manscarua提出的公开问题。解决了 Petra Staynova 关于quasi- Lindelöf空间的公开问题。研究了star-Menger空间的继承性, 给出了Kocinac提出的公开问题的刻画。研究了单调星紧覆盖性，部分回答了Popvassilev和Porter提出的公开问题。研究了star-Menger 和star-Rothberger空间的继承性在集论假设的条件下的性质，部分的回答了Kocinac提出的公开问题。研究了伪紧空间中不同星空间类之间的关系，研究了star-Hurewicz 空间的继承性,回答了Kocinac提出的公开问题。对拓扑空间的星覆盖性质和选择原理进行了深入的分析取得了一系列的研究成果。