关于图的特征值及其性质的研究

The theory of graph spectra is an active and important area in graph theory.There are extensive applications in the fields of quantum chemistry,statistical mechanics,computer science,communication networks and information science.In the theory of graph spectra,there are various matrices that are naturally associated with a graph,such as the adjacency matrix,the (signless) Laplacian matrix,the incidence matrix and so on.One of the main problems of graph spectra theory is to determine precisely how,or whether,properties of graphs are.reflected in the algebraic properties of the above matrices.. Among the above mentioned matrices of graphs,the most important two are the adjacency matrices and the Laplacian matrices of graphs.This thesis mainly investigates the limit points of the Laplacian spectra of graphs,spectral radius of digraphs with given diameter and sharp bounds on the signless Laplacian spectral radius of weak joining graphs.

图谱理论的研究是图论和组合矩阵论中的研究热点．它与数学领域中的许多研究课题密切相关，在信息科学、生物学、化学、经济学和理论计算机科学等许多方面都有具体的应用背景。 为了研究图的性质, 人们引入了各种各样的矩阵. 常见的有图的邻接矩阵、拉普拉斯矩阵、关联矩阵、距离矩阵以及无符号拉普拉斯矩阵等等. 这些矩阵都与图的结构都有着密切的联系. 图谱理论的一个主要问题就是研究图的性质能否以及如何由这些矩阵的代数性质 (主要是指矩阵的特征值性质) 反映出来. 在上面所提及的矩阵中,最重要的两个就是图的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵.. 本项目研究的主要问题在三个方面：(1)简单连通无向图的拉普拉斯谱及其极限点；(2) 有向图的邻接谱半径；(3)无符号拉普拉斯特征值的极限点和谱半径.我们试图建立它们与图的结构参数之间的一些关系.

本项目主要以研究图的极限点为出发点，进一步通过对图的禁用子图以及图的代数性质、组合性质和统计性质之间的联系，确定图的各个参数，并刻画出在图的拉普拉斯特征值或者无符号拉普拉斯特征值满足一定条件的所有的图以及图类的结构。具体主要有以下几方面的工作：（一）在图的某个特定的拉普拉斯特征值或者无符号拉普拉斯特征值满足一定的范围内时，研究符号条件的图的禁用子图；（二）通过对禁用子图的研究刻画出图的第四大无符号拉普拉斯特征值小于等于2的图；.（三）刻画出图的第二大拉普拉斯特征值小于等于 l =3.2470的图，其中l 是一元三次方程 μ3-5μ2+6μ-1=0 的最大根。（四）以图的顶点度di 等为参数, 通过对图的无符号拉普拉斯矩阵进行相似变换, 证明了由任意两个图 G1 和 G2 得到的广义并接图 G 的谱半径上确界 q(G); 也由此刻画了达到这个上界的极图当且仅当 G1 和 G2 均为正则图.