声子晶体中的狄拉克点及相关奇异性质研究

Nowadays Dirac point is a hot topic in graphene and topological insulators. Not limited to quantum mechanics, Dirac cones with linear dispersions at high symmetry points in the Brillouin zone are also found in classical systems such as photonic crystals and phononic crystals. Many novel wave transport properties such as classical analogues of Zitterbewegung and pseudo-diffusion are found in those classical systems. Although quite a bit of effort has been devoted to this topic recently, some fundamental questions remain unanswered. For example, the physical origin of linear dispersions of a Dirac or Dirac-like cone in phononic crystals is not well understood. Furthermore, it is not clear whether the linear dispersions at the Dirac-like point can also be described by the Dirac equation, although this has been widely assumed in the literature. Finally, what is the meaning of pesuodo-spin in the classical acoustic/ealstic wave equations? In this project we will study from the first principles the origin of Dirac/Dirac-like cones in phononic crystals. By constructing an effective Hamiltonian and computing the Berry phase for the linear dispersions in phononic crystals, we will try to distinguish between real Dirac and Dirac-like cones. We will also study the transport behavior of acoustic and elastic waves along different directions in phononic crystals. With such a project, we hope a more general and comprehensive understanding of the Dirac points in phononic crystals can be obtained and some future applications can be expected.

石墨烯，拓扑绝缘体等量子体系中的狄拉克点是目前凝聚态物理研究的前沿热点之一。类似于在量子体系中，在声子晶体和光子晶体等经典体系中也存在着狄拉克点，及相应的线性色散关系，并伴随着一些奇特的物理性质。然而，在声子晶体中，什么时候会出现线性色散关系？线性色散关系是否就一定意味着狄拉克点？要满足什么样的条件，才是真正的狄拉克点？怎样才能对应到量子体系中的赝自旋？这些基本的问题到目前为止还没有明确的解答。因此，本项目将把声子晶体中的狄拉克点作为研究对象，系统地研究狄拉克点的出现条件，侧重于分析声子晶体中的有效哈密顿量、Berry phase等物理量与量子体系中的异同，从源头上理解狄拉克点的形成机制。在此基础上，利用狄拉克点附近的线性色散关系，研究声波和弹性波在不同的方向上所展现出来的不同的输运性质，力求对狄拉克点的产生有一个比较全面而深入的了解，并为狄拉克点在声子晶体中的应用开辟新的途径。

在本项目的资助下，我们对声子晶体中狄拉克点线性色散关系的形成条件、判断标准和声波的输运行为进行了研究，取得了一定的成果。具体来说，我们发展了一套基于k.p理论的微扰方法，该方法有较强的普适性，很适合于对狄拉克点线性色散关系的研究，其优点有：适用狄拉克点/双狄拉克点/半狄拉克点/类狄拉克点等各种不同的线性色散关系；适用于声波/弹性波/水波等各种不同系统；能准确预测线性斜率；提供了一个选择定则，可帮助我们判断具有什么对称性的本征态相遇才能产生线性色散关系；能构造出有效哈密顿量，并准确计算贝利相位。此外，由于双狄拉克点通常发生在波长与晶格常数相当的较高频率处，与其相关的声波输运行为通常都会出现衍射现象。为解决该问题，我们根据对Mie氏散射系数的理解，在群论的指导下，通过巧妙地选择材料和结构参数，显著地降低了双狄拉克点的频率，成功地避免了衍射现象，同时还确保双狄拉克点本征态为该频率整个布里渊区内唯一的本征态，从而为实现声波的零折射率材料创造了条件。我们采用参数反演法，得到了有限厚度声子晶体板的有效折射率和有效阻抗的表达式，从而建立起了双狄拉克点材料与零折射率材料的对应关系。并采用数值模拟方法，验证了双狄拉克晶体的特殊输运性质：它能够同时实现波的零相位传播和全振幅透射。.除此以外，我们还适当扩展了研究目标和内容，有针对性地研究了与狄拉克点线性色散关系有内在逻辑联系的拓扑现象。事实上，电子系统中的量子自旋霍尔效应（QSHE）和量子谷霍尔效应（QVHE）均与狄拉克点线性色散关系有内在的逻辑联系：只有当体带的能隙发生闭合并再次打开时，其拓扑性质才会发生改变。对于布里渊区中心Γ点附近的四能带系统，体带能隙刚好闭合时，其色散关系就是双狄拉克锥，因此双狄拉克锥就是QSHE中从拓扑平庸到拓扑非平庸的相变临界点。对于布里渊区边界K/K’点附近的二能带系统，体带能隙刚好闭合时，其色散关系就是狄拉克锥，因此狄拉克锥是QVHE中具有不同谷陈数的能带实现反转的相变临界点。根据这样的内在逻辑联系，从狄拉克点线性色散关系出发，我们系统研究了声波/弹性波/水波系统中的类QSH态和类QVH态，构造了有效哈密顿量，计算了自旋陈数和谷陈数，并通过数值模拟验证了受拓扑保护的单向传输的边界态。