实际复杂系统不确定量化中的降阶建模理论

Simulation is often the only analysis and research tool for verifying the accuracy of model outputs for complex systems when experimentation is neither feasible nor possible. A successful simulation of complex system requires characterizing and quantifying the uncertainties and errors caused by the incomplete knowledge of the inputs and the mathematical models. Due to the high-dimensional space involved, the computation for predicting the outputs based on uncertain inputs or deriving the inputs from the statistics of outputs is often a formidable work. For the purpose of lessening the complexity of such computation, this project will establish different stochastic reduced-order models for various types of systems. More specifically, considering the effectiveness of the stochastic reduced-order modeling is tightly connected with how to “filtrate” the information of systems, i.e., preserve the essential and discard the useless information, and the fact that the error tolerance for the concerned statistics of the system inputs or outputs is relative large, we will apply the methods including polynmial chaos expansion, centroidal Voronoi tessellation, proper orthogonal decomposition and compressed sensing, etc, to reduce the degrees of freedom of the spacial space or the dimensionality of the stochastic space that used to characterize the uncertainties of systems, and develop mathematical theory and algorithms for our stochastic reduced-order modeling.

在复杂系统的研究中，当完整的实验数据缺失的时候，利用数学模型进行数值模拟则是唯一的分析和研究工具。这时候由于信息的不完整和模型带来的误差所造成的不确定性进行量化分析则成为模型成功与否的核心挑战。这其中的主要困难之一在于在进行数值模拟的时候，由于刻画不确定性的随机空间的高维数所带来的计算上的巨大困难。本项目将利用随机降阶建模，针对各种模型，在保留原有模型主要特性的同时，降低计算所需的自由度，从而达到降低计算复杂度的目的。事实上，随机降阶模型的有效性与信息的过滤直接相关，即需要找到保留的信息和能够容忍的误差之间的平衡，本项目希望通过利用不确定量化问题所关注的统计信息对误差的容忍度相对较大的特点，研究利用POD/CVT，PCE和压缩感知等理论，减少计算所需的空间的自由度和用于刻画不确定性的随机空间的维数，对各种不确定量化问题建立高效而准确的低维逼近方法。

本项目的主要研究背景和内容是，在复杂系统的研究中，当系统的完整实验数据无法获得的时候，利用数学模型，对于实际复杂系统进行数值模拟则成为唯一分析研究工具。在这些复杂系统的数值模拟，分析和建模中，一个核心困难的问题就是不确定度量化，事实上，在建立模型对复杂系统进行数值模拟的时候，有非常多的模型误差和系统的不确定源。因此，对复杂系统的成功模拟需要准确地刻画和量化这些不确定性和数学模型以及算法的误差。另一方面，无论是利用已知的输入信息对输出进行预测；还是利用统计学的理论，从输出对输入的信息进行逆推，都面临着大数据量和高要求的计算量。这是由于刻画这些不确定性的数学工具往往涉及到高维数的概率空间，从而对模型的计算必须要面临高维数所带来的困难。本项目的主要成果如下.1..本人同时对地下水的模型，特别是Navier-Stokes-Darcy模型非常感兴趣。这类模型首先由确定性的模型出发，后期发展到不确定的模型，我们对Robin型的区域分解理论，系统分析和研究了这类模型的三类界面条件， 特别是Beavers-Joseph条件。利用一类非奇异解，我们证明了这类问题的wellposeness。.2..对于UQ问题部分，从计算的角度出发，这类问题最大的困难是计算复杂度，主要包括对单个样本的数值模拟和大量的样本数。因此，利用所谓的降阶模型（reduced-order modeling），来大限度的提高计算效率，是有关UQ问题的研究重点，基于这一点考虑，我们系统研究了几类降阶模型，包括多层Monte-Carlo理论，POD方法，CVT等降阶模型。对随机流体的控制问题和海洋大气洋流的模拟问题进行了研究。我和我的博士后秦瑞斌对材料中的随机Cahn-Hillard方程做了系统研究，在利用local Galerkin 方法，找到一类快速解。这个工作马上已被Computers and Applied Mathematics 接收；我和Clemson University 的Qingshan Chen 合作，我们利用多重Monte-Carlo方法，对北冰洋的洋流模型进行数值模拟，提出并分析了几种选取样本和降低计算复杂度的方法，这部分工作将发表在Monthly Weather Review上面（IF 3.2）..3..其它还做了一些多重Monte-Carlo方法在优化控制上的应用，以及随机均质化问题。