子流形的刚性及其应用

Geometry of submanifolds is an important research branch of global differential geometry, it plays important roles in geometric analysis, topology and differential equations ect and it has many applications in theoretic phyiscs. In this project, we will study geometry and topology of submanifolds in some symmetric spaces, which include the rigidity of submanifolds and its applications in geometric analysis. Concretely, firstly we will study rigidity and classifications of self-shrinkers of the mean curvature flows for higher codimension by construcing canonical examples, which appears in classification of singularities of type I. Secondly, we will study complete F-stable self-shrinkers and complete entropy-stable self-shrinkers, in case codiemnsion one, the important results were obtained by Colding-Minicozzi recently. Thirdly, we will study classification of indefinite affine hypersurfaces with parallel cubic form and classification of affine isoparametric hypersurfaces by constructing canonical examples. Finally, we will study rigidity and classification of indefinite Lagrangian subamnifolds with parallel second fundamental form by constructing canonical examples.

子流形几何是整体微分几何的重要研究内容,其研究不仅在几何分析,拓扑和方程等方面有重要数学作用,而且在理论物理有很多应用.本项目主要研究一些对称空间中子流形的几何与拓扑,包括对称空间中子流形的刚性及其在几何分析中的应用. 具体地,我们一是研究在高余维平均曲率流中第一类奇点分类出现的自相似子流形, 它是一类带权体积泛函的变分问题,满足特殊方程组的子流形,我们通过构造典型的自相似解,研究其刚性,在适当的条件下给出自相似解的分类;二是把Colding-Minicozzi最近关于自相似超曲面的F-稳定, entropy-稳定的重要结果推广到高余维自相似子流形;三是通过构造典型例子研究仿射空间中具有平行Cubic 形式 的不定仿射超曲面的分类和仿射等参超曲面的分类.四是通过构造典型例子研究复空间形式中具有平行第二基本形式的不定Lagrangian 子流形的刚性和分类问题.

本项目在下面六个方面取得一系列重要研究成果：　.(1) Pinkall-Sterling猜想的解决：李海中和Ben Andrews合作论文 “Embedded constant mean curvature tori in the three-sphere”, 解决了著名的 Pinkall-Sterling猜想：3维球面中常平均曲率的嵌入环面是旋转环面。文章给出3维球面中常平均曲率H嵌入环面的完全分类。.(2) 子流形几何的刚性研究：研究了欧氏空间中平均曲率流的自相似解，计算了F-泛函的第二变分， 引进F-稳定性的概念， 给出高余维F-稳定自相似解的分类， 推广Colding-Minicozzi的关于超曲面的著名结果。给出3维复空间形式中3维齐性拉格朗日子流形的完全分类，特别给出3维复射影空间中Berger球面的一个新特征。研究了n维复欧式空间和n维复射影空间中闭Lagrangian子流形， 得到微分球定理。对高余维graph子流形， 得到Gauss-Bonnet-Chern 质量m_2 的正质量定理和Penrose型不等式, 研究了球面中具有常数数量曲率超曲面的稳定指标。.(3) 逆曲率流和曲率流的研究：对双曲空间中星形和2-凸超曲面，利用逆平均曲率流证明关于主曲率的第二基本对称函数和面积的最优积分不等式，并且研究了球面和双曲空间中嵌入超曲面的曲率流， 得到 "non-collapsing"性质。.(4) 第一特征值的下界估计和直径估计：研究了Witten-Laplacian算子的第一特征值估计，并给出紧致Shrinking Ricci Solitons的直径估计，得到 Bakry-Emery Ricci曲率有正下界紧致（带边）流形的f-拉普拉斯算子的第一特征值的最优下界估计， 并且证明下界达到当且仅当流形为球面（半球面）。研究了具有负Ricci曲率下界的紧致带边流形， 在边界的平均曲率为严格正下界的假定下， 给出直径的最优上界估计。.(5) Weyl共形泛函的研究：研究了黎曼流形上一类共性不变泛函（Weyl 泛函）的变分问题，计算了Weyl 泛函的第一，第二变分，并证明两个3维单位球面乘积是Weyl 泛函的严格稳定点（即第二变分为正）。.(6)Li-Yau估计和有关结果：研究了几类非线性偏微分方程，得到Li-Yau型梯度估计和几何应用。