三维Helmholtz方程外问题的人工边界法及其区域分解算法研究

Exterior Helmholtz problem is one of the hotest issues in the field of computational electromagnetics, it has been caught extensive attention by numerical mathematics researchers. This project studies artificial boundary method and domain decomposition method for exterior three dimensional Helmholtz equation. Based on three kinds of ellipsoids (prolate ellipsoid, oblate ellipsoid and general ellipsoid) and cylinder artificial boundary, the artificial boundary condition of exterior Helmholtz equation problem and the corresponding mathematical theory analysis are given. The relationship between the error of numerical solutions and the position of artificial boundary is discussed. Based on prolate ellipsoid, oblate ellipsoid, general ellipsoid and cylinder artificial boundary, overlapping and non-overlapping domain decomposition method for the problem are studied by natural boundary reduction. Convergence, convergence rate and error estimate are given, too. The relationship between the speed of numerical calculation and the degree of overlapping region is considered to design some high-order numerical algorithm. Using spline interpolation method, some effective numerical methods of certain hypersingular integrals in the artificial boundary condition are explored. The project belongs to an active research field at present, it is helpful to promote investigation on numerical methods and theoretical analysis for electomagnetics problems, and it is significant in theory and application.

Helmholtz方程外问题是计算电磁学领域中的热点问题之一，一直受到数值计算研究者的广泛关注。本项目主要研究三维Helmholtz方程外问题的人工边界法及其区域分解算法。基于长椭球面、扁椭球面、一般椭球面和圆柱面人工边界，给出三维Helmholtz方程外问题的精确人工边界条件和相应的数值算法，分析数值计算的误差与人工边界位置之间的关系；研究该问题基于长椭球面、扁椭球面、一般椭球面和圆柱面自然边界归化的重叠型和非重叠型区域分解算法，分别给出两种算法的收敛性、收敛速度和误差估计，分析数值计算速度与区域重叠度之间的关系，设计出一些高精度的数值算法；针对人工边界条件中的奇异积分问题，借助样条函数插值方法，探索其有效的数值方法。本项目的研究将进一步推动电磁场问题的数值计算和相应的理论分析研究，具有十分重要的理论意义和应用价值。

人工边界法是求解无界区域上偏微分方程外问题的一种十分重要的方法。本项目研究了无界区域上三维Helmholtz方程、三维Poisson方程外问题的数值解，并对相关超奇异积分问题进行了拓展性研究。具体工作包含以下内容：.1. 无界区域上三维Poisson方程外问题的人工边界法与区域分解法。通过构造长椭球人工边界，减少了长条型无界区域微分方程外问题的计算量。同时，推导了长椭球人工边界区域三维Poisson方程边值问题的Poisson积分公式和自然积分方程。利用区域分解法（或D-N交替法）将无界区域分解为两个子区域，结合人工边界法将数值结果在人工边界上交替迭代，进一步提高了计算精度。.2. 研究了结合三次B样条函数插值法、自适应移动网格技术和自适应差分进化法求解超奇异积分方程。首先，结合上述三种方法研究并求解奇异摄动对流扩散方程，取得了很好的计算效果。通过与其他智能算法（PSO，CLPSO，rcGA，CMA-ES，DE，SaDE，JADE）相比较，自适应差分进化算法（jDE）更加高效、稳定。我们将进一步推广该方法来求解超奇异积分方程。.3. 研究了区域分解法后的有界计算区域的快速计算问题。我们使用使用混合有限元对有界区域进行离散，并设计混合有限元法的两层网格算法。通过收敛性分析和数值算例，两层网格算法能够保持混合有限元法相同的精度，同时大大节约了数值计算时间。另外，我们还研究了常微分方程的连续级龙格-库塔法数值解。上述研究将进一步推动人工边界法在无界区域偏微分方程数值计算上的应用。