模糊不确定差分方程动力学理论及相关问题研究

Applying fuzzy anlaysis, uncertainty theory, the theory of difference equation, stability theory, matrix theory and computational mathematics, we investigate the dynamical behaviors such as the existence, boundedness, extinction and persistence of solution to fuzzy uncertainty difference equation with fuzzy parameter and fuzzy situation, the dynamics of fuzzy uncertainty matrix difference equations in this research project. Our aims are to find the difference from qualitative property between fuzzy uncertainty difference equation and difference equations. Using the cuts of fuzzy sets, fuzzy uncertainty difference equation can be transformed to two ordinary difference equations with some parameters. The dynamical behaviors of these difference equations will be investigated. Furthermore,the stability of the equilbrium and the existence of periodic solutions to the fuzzy uncertainty difference equation with fuzzy parameter and/or fuzzy situation are studied. The effects on dynamical behaviors of system are investigated from some fuzzy parameters. Finally, the results obtained will be illustrated to give some numerical examples using MATLAB and VENSIM software. The investigation of this project will provide some feasible anlaysis metholds and simulation techniques which can be employed to study the dynamics of fuzzy uncertainty difference equation. Comprehending the rule of evolution and changement of system, it can provide theoretical guidance to investigate some problems of fuzzy uncertainty.

本项目利用模糊分析学、不确定性理论、差分方程理论、稳定性理论等工具，结合矩阵论与计算数学方法，研究模糊参数、模糊状态单独（或同时）存在时，模糊不确定差分方程解的存在性、有界性、系统的绝灭和持久生存等动力学及模糊不确定矩阵差分方程的动力学性质，并与相应常差分方程和矩阵差分方程的结果进行比较，探究解在定性上的差异性；利用模糊集的截集将模糊不确定差分方程化为两个带参数的常差分方程系统，研究常差分系统的动力学性态；进一步探讨具模糊参数、模糊状态影响下模糊不确定差分方程平衡解的稳定性及周期解问题，分析模糊参数、模糊状态对系统动力学的影响。同时利用MATLAB与VENSIM软件对结论进行数值模拟以验证结果，分析模糊不确定差分方程与对应常差分方程的动力学性态的差异。 项目的成功实施，将为研究模糊不确定差分系统的动力学性质提供可行的分析方法和仿真技巧，更好地掌握系统的变化发展规律，处理模糊性提供理论指导。

物理、电子电路、神经网络、经济学和生态种群学等应用科学技术领域提出的许多问题，要描述事物的变化发展过程，建立的数学模型很多可以归结为微分方程和差分方程型。在系统建模过程中，由于系统本身的客观复杂性和人们主观认识的欠缺等诸多原因，实际上人们所掌握系统的信息是不完整的，建立的模型通常包含两种不确定性，即随机性或模糊性。本项目主要研究内容包括：（1）模糊不确定差分方程解的存在性、唯一性、有界性、持久性等动力学及常差分方程（系统）定性研究；（2）模糊不确定差分方程平衡解的稳定性研究；（3）模糊不确定差分方程周期解的存在性和解的振动性研究；（4）模糊神经网络模型的动力学行为研究。通过对项目的研究，得到了一类一阶模糊Ricatti差分方程解的存在性、有界性、收敛性及平衡解的渐近稳定性和振动性的条件；得到了生物单种群离散模型--模糊Logistic差分方程解的存在性、有界性、持久性和收敛性条件；首次利用模糊数的广义模糊除法，得到了一类三阶有理模糊差分方程解的有界性、持久性和收敛性；对系列有理常差分方程系统研究，得到了系统解的有界性、持久性及平衡解的渐近稳定性的充分条件。对几类模糊神经网络模型的研究，得到了模型平衡解的存在性和稳定性、周期解与反周期解的存在性和稳定性的充分条件。利用预李群分类法给出一类非线性偏微分方程的群不变解。应用Tanh函数法找到Fitzhugh-Nagumo方程的许多新的显示解析行波解。. 项目的研究成果均以论文形式体现，主要发表在国际期刊上，共发表24篇学术论文，其中SCI/EI检索论文17 篇。发展和丰富了模糊不确定差分方程的动力学理论，探究了几类高阶有理差分方程平衡解稳定的参数满足的充分条件，对模糊神经网络模型的平衡解、周期解及反周期解的存在和稳定性等动力学行为研究具有借鉴意义。项目研究成果为模糊不确定差分系统的动力学行为研究提供可行的分析方法和仿真技巧，更好地掌握系统的变化发展规律，处理模糊性提供理论指导。