偏微分方程最优控制问题的混合有限体积元方法研究

In this project, we devote to constructing mixed finite volume element schemes for optimal control problems governed by partial differential equations, and researching on theoretical analysis and numerical simulation. The basic idea of the project is as follows: the spatial region is discretizated into primal and dual grids domain, the trial function space, test function space and transfer operator are defined, based on optimize-then-discretize technique, by using the mixed variational discretization approach and transfer operator, mixed finite volume element schemes are constructed to solve optimal control problems governed by different partial differential equations, in which the objective functional contains gradient (or flux) of the state variables, the existence and uniqueness of the discrete solution are proved, then, by introducing some proper auxiliary.variables and their equations for different problems, analysing and applying the error estimates of auxiliary variables, the priori error estimates and.superconvergence are obtained. Numerical experiments are given to confirm the effectiveness of the proposed schemes. Further, the equivalent posteriori error estimators are given to construct adaptive mixed finite volume element algorithm for optimal control problems by using adaptive mesh refinement algorithm. Applying mixed finite volume element methods to solve optimal control problems, not only simplifies calculation and reduces workload, but also maintains the local conservation properties of some physical quantities. Therefore, the research on this project is provided with important value in theory and practical application.

本项目主要建立偏微分方程最优控制问题的混合有限体积元格式，并进行理论分析和数值模拟研究。项目的基本思想是：在空间区域上进行原始和对偶网格剖分，定义试探函数空间、检验函数空间以及迁移算子，对目标泛函含有状态变量的梯度（或通量）的不同类型微分方程最优控制问题，基于先优化后离散的方式，利用混合变分离散技巧和迁移算子，构造混合有限体积元格式并证明离散解的存在唯一性，针对不同问题引入适当的一些中间变量及其满足的方程，分析并利用中间变量的误差估计给出数值解的先验误差估计和超收敛性分析，给出数值算例验证格式的有效性。进一步，构造并利用等价的后验估计子和网格局部加密算法构造最优控制问题的自适应混合有限体积元算法。利用混合有限体积元法求解最优控制问题不仅可以简化计算和降低工作量，而且能够保持某些物理量的局部守恒性质，因此这项研究具有重要的理论意义和实际应用价值。

偏微分方程最优控制问题是约束优化问题的一个重要分支，其问题描述包含目标泛函和状态方程两部分，实质上是在状态方程的约束条件下求目标泛函的极小值问题。由于偏微分方程最优控制问题涉及偏微分方程理论和约束优化理论，再加上实际问题的复杂多变，因此通常情况下很难获得其精确解，因此研究其数值近似解具有重要的科学意义。本项目针对目标泛函含有状态变量的梯度（或通量）的不同类型偏微分方程最优控制问题，构造了混合有限体积元方法并进行数值模拟研究。在空间区域上作原始和对偶两套网格剖分，定义各个变量的试探函数空间和检验函数空间，基于先优化后离散的方式并利用迁移算子构造原问题的混合有限体积元近似的离散最优系统，通过引入并分析中间变量的估计，利用迁移算子的性质建立了误差估计的相关理论框架。混合有限体积元方法既具有混合有限元方法的易于处理复杂区域和边界条件以及高精度同时计算两个或多个变量等优点，又具有有限体积元方法的格式简单、计算量小和保持某些物理量的局部守恒性质等优点。因此，研究偏微分方程最优控制问题的混合有限体积元方法具有非常重要的科学价值和实际意义。