四阶微分算子特征值问题的有限元局部与并行算法研究

Local and parallel finite element algorithm is an important algorithm for solving partial differential equations in scientific and engineering applications. This method was introduced by Jinchao Xu and Aihui Zhou in 2000, and then has been studied and developed by many scholars. There have been a lot of achievements about this method, however, most of existing literatures are about second-order equations while few researches are made for fourth-order eigenvalue problems. This project aims to study the local and parallel finite element algorithms for biharmonic equations/eigenvalue problems and transmission eigenvalue problems from three aspects: (1) To study the local and parallel algorithms of conforming finite elements and spectral elements method, establish the local error estimates, and make the error analysis for the algorithms; (2) To study the local and parallel algorithms of non-conforming finite elements and C0IPG method; (3) To study the local and parallel algorithms of Ciarlet-Raviart mixed element, and prove the efficiency of algorithms by theoretical analysis and numerical experiments. The issues mentioned above are not found in the existing literatures. We will analyze the convergence and error estimates of these new methods and make numerical experiments. The achievements of this project will enrich and develop the numerical computation theory and applications of differential operator eigenvalue problems.

有限元局部和并行算法在科学和工程计算中是数值求解偏微分方程的重要方法之一，这种方法是著名学者许进超和周爱辉于2000年首次提出的，之后许多科研工作者对此方法做了大量的研究，取得了丰富的成果。但现有文献关于有限元局部和并行算法的研究大多是针对二阶偏微分方程，而针对四阶微分算子特征值问题的研究则较少。本项目研究重调和方程/特征值问题和传输特征值问题的有限元局部和并行算法，拟从三个方面展开研究：（1）研究协调有限元和谱元法的局部和并行算法，建立局部估计，并对算法进行误差分析；（2）研究非协调元和C0IPG方法的局部和并行算法；（3）探索Ciarlet-Raviart混合有限元的局部和并行算法，从理论和数值实验两个方面证明算法的高效性。上述研究内容在现有文献中未见报道，我们将对这些新的方法的收敛性、误差估计进行数值分析和实验。本项目的研究成果将丰富和拓展微分算子特征值问题数值计算的理论和实际应用。

有限元局部和并行算法是数值求解偏微分方程的重要方法之一，现有文献关于有限元局部和并行算法的研究大多是针对二阶偏微分方程，而针对四阶微分算子特征值问题的研究则较少。重调和方程/特征值问题是比较重要的一种四阶偏微分方程模型，而传输特征值问题是近年来学术界关注的热点问题之一。本项目从下述三个方面对重调和方程/特征值问题和传输特征值问题的有限元局部和并行算法进行了研究：（1）证明了重调和方程/特征值问题有限元解的局部先验估计，建立了板振动和板屈曲重调和特征值问题的有限元局部并行离散方案，从理论分析和数值试验两方面验证了离散方案的有效性；（2）对带有简支边界条件的重调和特征值问题，建立了基于移位反迭代的Ciarlet-Raviart混合有限元二网格离散方案，以及C0IPG法基于移位反迭代的二网格离散方案，并从理论分析和数值试验两方面验证了离散方案的高效性；（3）对Helmholtz传输特征值问题，证明了其H2协调有限元和谱元逼近的局部先验估计，建立了局部和并行计算方案，并给出了方案的理论分析和数值试验；对弹性波传输特征值问题，证明了其H2协调有限元局部先验估计，建立了H2协调有限元二网格离散方案和局部并行计算方案，并从理论分析和数值试验两方面验证了计算方案的高效性。除此之外，我们还研究了反散射理论中的Steklov特征值问题，建立了有限元局部计算方案、二网格离散方案和多网格校正方案，给出了计算方案的误差分析和数值试验结果。