拓扑动力系统的泛函包络及其在偏微分方程中的应用

Chaos is an important topic in nonlinear science. At present, chaotic phenomena are routinely observed or numerically simulated in a lot of infinite-dimensional systems governed by partial differential equations. It is significant how to describe and then prove mathematically such phenomena. In this project, we study the functional envelope of a topological dynamical system and apply it to prove chaotic behaviors for some partial differential equation systems. Recently, research on the functional envelope mainly focused on the functional envelope relative to the compact-open topology. But for many compact systems, this kind of functional envelopes does not have any dense orbit. Thus it is inconvenient to apply it to describe complex behaviors for partial differential equations directly. In 2016, we introduced a new kind of functional envelope, functional envelope relative to the point-open topology on a dense subset, to insure the existence of dense orbits. We will study the connections between the chaotic behaviors (such as transitivity, topological entropy, Li-Yorke chaos, distributional chaos and sensitivity) of a compact system and that of its functional envelope relative to point-open topology on a dense subset (or other suitable topology). Then we will apply the theory of functional envelope to provide a new way to study complex behaviors for partial differential equations, especially for the wave equations with nonlinear boundary condition.

混沌是非线性科学的重要课题。目前，通过数值模拟或仿真的方式，大量由偏微分方程描述的无穷维系统被观测到了混沌现象。如何从理论上描述和证明这些混沌现象具有重要的理论和实际意义。本项目旨在研究拓扑动力系统泛函包络的复杂性，并据此严格证明某些偏微分方程系统具有混沌性态。泛函包络的研究目前集中在相对于紧开拓扑的泛函包络上。但对大多数紧致系统，这类泛函包络中不存在稠密轨道，故它应用于描述方程系统的复杂性时受到了很多限制。2016年，申请人提出一类新的泛函包络，相对于稠子集的点开拓扑的泛函包络，克服了稠密轨道的存在性问题。藉此，我们准备研究紧致系统与它诱导的相对于稠子集的点开拓扑(或其它拓扑)的泛函包络在传递性、拓扑熵、Li-Yorke混沌、分布混沌和敏感性等上的关联；然后研究该类泛函包络在偏微分方程（特别是带边界条件的波动方程）中的应用，为利用拓扑动力系统理论分析方程系统的混沌性态提供一种新的途径。

在实际中，存在大量由偏微分方程描述的无穷维系统，通过模拟（包括数值模拟或仿真）可观测到混沌现象，但理论上还没有严格的证明，甚至还没法给出合适的数学描述. 按照计划，我们理论上研究了拓扑动力系统与它的泛函包络在复杂性上的关联。应用上研究了某类带 van der Pol 型非线性边界反馈的一维波动方程的复杂性。主要的研究内容有如下四个方面：(1) 拓扑动力系统的理论研究。说明了 G 系统中极小吸引中心跟 Folner 序列的选取无关并且可以被具有正上(下)密度的回复点集刻画，给出了Bowen 估计熵的变分原理；(2) 拓扑动力系统与它的泛函包络在复杂性上的关联的研究。对一维动力系统的泛函包络，某些动力学性质（正熵，弱混合和传递性等）具有向上遗传性。对由一列连续映射生成的系统的泛函包络，强混合性、distal性和3阶弱混合性具有向上遗传性；(3)应用泛函包络理论，研究了两类波动方程解曲线的复杂性和稳定性；给出了两类带 van der Pol 型非线性边界反馈的一维波动方程的混沌行为的刻画；(4) 拓扑动力学方法在控制系统中的应用。给出了控制集的几个新的二分定理。所得结果具有重要的理论意义。