1-周期复形的Hall代数与循环箭图簇

Hall algebras established deep connections between representation theory of algebras and Lie theory. Then the quiver varieties introduced by Nakajima greatly strengthened the connections in the geometric way. The main objects of this project are the Hall algebras of 1-cyclic complexes and the associative algebras constructed from cyclic quiver varieties. We will use the methods from homological algebra, representation of quivers and the theory of perverse sheaves, and pay special attentions to the structures and properties connected with Lie theory..Firstly, based on our former work on nilpotent Hall Lie algebras associated to 1-cyclic complexes, we will determine the generating relations for type D and E, then try to study the affine case. At the same time, we will investigate the structures of degenerate Hall algebras and Hall algebras associated to 1-cyclic complexes and establish their relations with Hall Lie algebras. Finally, we hope to characterize their generators and generating relations..Secondly, we want to construct associative algebras on two stages. The first one is generated by perverse sheaves on cyclic quiver varieties defined by Nakajima under convolution multiplications. We hope to generalize Qin’s results to n-cyclic complexes. The second one is generated by constructible functions on affine varieties of complexes of projective modules. We want to generalize Xiao-Xu-Zhang’s results to 1-cyclic complexes..Lastly, we will compare the Hall algebras from the algebraic side and the associative algebras from the geometric side.

Hall代数建立了代数表示论与李理论的深刻联系，而Nakajima的箭图簇从几何的角度深化了这些联系。本项目主要研究1-周期复形的Hall代数和由循环箭图簇构造的结合代数。我们将使用同调代数、箭图表示以及反常层的方法进行研究，关注与李理论联系紧密的结构和性质。1）在1-周期复形的幂零Hall李代数的工作基础上，我们希望刻画D、E型Hall李代数的生成关系，并进一步将工作推广到仿射型。我们还将研究1-周期复形的（退化）Hall代数的结构，建立它们与Hall李代数的关系，实现对它们的生成元和生成关系的刻画。2）我们将在两个层面构造结合代数。其一是循环箭图簇上的反常层在卷积乘法下生成的代数，我们希望将覃的结果推广到到n-周期复形。其二是投射模复形的仿射簇上的可构函数生成的代数，我们希望将肖-徐-张的结果推广到1-周期复形。3）我们希望比较由代数方向得到的Hall代数和由几何方向得到的结合代数。

本项目主要研究1周期复形范畴以及1周期三角范畴对应的Hall代数与Hall李代数和由循环箭图簇构造的结合代数。众所周知，Bridgeland首先利用2周期复形范畴实现了整个量子群，覃帆利用循环箭图簇几何化地实现了整个量子群。因此我们的研究工作不仅与量子群和李代数密切相关，而且与范畴化和几何化联系紧密。借助Hall代数和Hall李代数的模型，我们的研究内容涉及到有限维遗传代数的表示、三角范畴、箭图簇和反常层等等。主要成果总结如下：.第一，我们研究了acyclic箭图Q的表示范畴的1周期复形范畴对应的Hall李代数和Hall代数。我们利用退化的Hall乘法定义了Hall李代数，刻画了它的生成元、关系、根系和性质。特别的，我们构造了一大类幂零李代数，从而给出了半单李代数的幂零部分的新的实现模型，以及由图定义的二阶幂零李代数的实现模型和一类Anosov李代数的实现模型。.第二，我们研究了1周期三角范畴的导出Hall李代数。特别的，对于Dynkin型箭图 Q的表示范畴的导出范畴的1周期轨道范畴，我们刻画了该李代数的生成元，并在A型和D型决定了该李代数的结构。.第三，分别基于Heisenberg double和1周期复形范畴，我们给出了Green公式的两种新的代数证明。.第四，我们把Lusztig的量子群及其典范基的范畴化构造推广到generic的Hall代数。进一步，我们刻画了Green公式和限制函子的确切关系，从而几何化地证明了Green公式，这说明了在Hall代数中，乘法与余乘的相容性可以在Lusztig工作的框架下得以范畴化。在相同的框架下，我们利用带自同构群的箭图给出了可对称化的量子群上的Lusztig对称子的几何实现。我们还将Zheng的量子群的可积最高权模的范畴化推广到了double Hall代数。