模性范畴的Brauer群的计算及其应用

Nowdays, the theory of modular categories has been one of the most powerful tools to study rational conformal field theories and topological quantum field theories. The algebras of a modular category and their representations are closely related to some detailed problems of physics and topology (e.g. the classification of rational conformal fields), therefore, it is very interesting and important to investigate the algebras of a modular category. Based on the applicant's work on the Brauer groups of braided fusion categories, this proposal will focus on the Brauer groups of modular categories, which are the groups of the equivalent classes of Azumaya algebras in modular categories: First, we will discuss the detailed computation of the Brauer groups of modular categories, in particular, we will determine the Brauer groups of some modular categories derived from quantum groups. Second, the Brauer groups of modular categories with small ranks will be classified. Namely, we will investigate how many kinds of non-isomorphic Brauer groups there are for all modular categories which share a fixed number of the isomorphism classes of simple objects. Third, we will investigate the relation between the equivalent classes of Azumaya algebras and rational conformal field theories, and then use Brauer groups to classify rational conformal fields. Finally, we will discuss the relation between full centers of algebras and braided auto-equivalences of the Drinfeld center of a modular category.

目前，模性范畴是研究有理共变场理论和拓扑量子场理论的最有效工具之一。由于模性范畴中的代数及其表示与具体的物理和拓扑问题（如有理共形场的分类）存在着密切的联系，所以模性范畴中的代数研究是非常有意义和重要的。基于申请人在辫子凝聚范畴的Brauer群上的工作，本项目将围绕模性范畴的Brauer 群（即范畴的Azumaya代数等价类群）进行如下研究：首先，研究模性范畴的Brauer群的具体计算，特别地，要确定一些由量子群导出的模性范畴的Brauer群。其次,对低秩模性范畴的Brauer群进行分类，即讨论固定秩的所有模性范畴的非同构的Brauer群的种类。再者,研究 Azumaya代数类和有理共形场的关系，给出有理共形场的Brauer 群分类。最后,讨论代数的全中心与范畴的Drinfeld中心的辫子自等价的关系。

模性范畴是研究有理共变场理论和拓扑量子场理论的最有效工具之一。由于模性范畴中的代数及其表示与具体的物理和拓扑问题（如有理共形场的分类）存在着密切的联系，所以模性范畴中的代数研究是非常有意义和重要的。由于Lusztig量子群的表示范畴是最重要的模性范畴之一，所以按照课题计划，本项目围绕此类模性范畴的Brauer 群进行了研究。目前，在国外重要学术刊物如 《Journal of Geometry and Physics》等正式发表SCI论文9篇，邀请国内外学者访问南京林业大学6次，受邀参加学术会议和学术访问以及交流16次，举办小型学术研讨会议1次，如期完成了任务，达到了课题预定目标。课题中最重要的结果有以下四点： . 首先，使用辫子群（全中心）的模范畴和余模范畴重新刻画了Drinfeld中心，提供了研究Drinfeld中心的一种新视角。其次，利用辫子交换Galois对象刻画了Drinfeld中心上辫子自等价。因此，把分类辫子自等价函子转变为分类特殊的代数类。再者,通过分类Galois对象，计算了Lusztig量子群Uq（sln）’的表示范畴的Brauer群的子群。特别地，当n=2时，我们完全描述了相应的Brauer群。这个结果实际上完全分类了相应的Azumaya代数，也完全分类了一类有理共形场。最后，证明了复形范畴的Drinfeld中心等价于Parachain范畴，并证明了Woronowicz基本定理在动力量子群上也是成立的。. 由于本课题的顺利执行，使我们在国内率先开展辫子群和Galois理论来模性范畴，尤其是其上的Brauer群计算成果，为量子群上的Brauer群在有理共形场的进一步应用提供了前提，我们的工作引起了国内很多学者的关注，刺激或带动国内在这方面的研究兴趣。