空间生态学中若干反应扩散方程模型的定性研究

Reaction-diffusion(s) are usually used to describe some application problems arising in physics, chemistry, ecology and other disciplines. The study on the existence of solutions of several types and the underlying dynamics of such equations has always been am important research topic in differential equation theory and applications. However, the research on the specific mechanism of weak-strong advection competition system and its influence on the dynamics are rare. This subject is devoted to applying monotone dynamical systems theory, spectrum analysis, comparison principle and nonlinear analysis method to study dynamics of several reaction-diffusion equations. Besides, we also describe some determinants of the reproduction and the evolution of the species including diffusion rate, advection rate, intensity of interspecific competition, spatial distribution of resources and boundary conditions. Moreover, we will give the criteria of species competition exclusion or coexistence and obtain the complete classification of global dynamic behavior of systems in partial parameter domain and the global bifurcation curves of coexistence solutions. Theoretically, this subject will generalize or improve some previous work and develop some new methods and skills which leads to develop the theory of reaction diffusion equation. On the applications side, this subject will effectively guide and predict the reproduction and evolution of species. Therefore, this project possesses important theoretical and practical significance.

反应扩散方程或方程组常用于物理、化学、生态学等学科中一些实际问题的数学建模，其各类解的存在性及其动力学性态一直是微分方程理论研究和应用问题研究的重要课题，但具体到强弱竞争系统中对流机制及其对动力学性态影响少见文献研究。 本课题拟采用单调动力系统理论、谱分析、比较原理、非线性分析方法和定性分析等理论与方法来研究若干反应扩散方程解的动力学性态，描述扩散系数、对流系数、种间竞争强度、资源分布与边界条件对物种繁衍和进化的影响，给出物种竞争排斥或共存的判定准则，得到部分参数域中系统全局动力学行为的完全分类以及共存解的全局分支曲线。 本课题的开展理论上推广或完善了前人的工作，发展了处理这类问题的方法和技巧，以此发展反应扩散方程理论；应用上能有效指导并预测物种的繁衍和进化。 因此，本课题具有重要理论与实际意义。

本项目的主要研究对象是具有对流的反应扩散方程模型，重点研究了扩散率、对流率、本性成长率、环境承载量、边界条件与竞争强度对竞争系统动力学的影响，初步研究了扩散率、对流率、资源空间分布与功能性反应函数对捕食食饵系统动力学的影响。主要结果包括：（1）假设两物种竞争能力相同，反应项相同，项目组系统研究了扩散、对流与边界条件对种群竞争结果的影响；（2）假设两物种竞争能力相同，本性成长率不同，研究了空间环境异质性与物种扩散速度对种群竞争结果的影响；（3）研究了一般高空间中的扩散-对流-竞争系统，得到了参数域的剖分以及不同参数域内的不同动力学性态；（4）研究了具有一般边界条件的一维扩散-对流-竞争系统，在一定条件下给出全局动力学的完整分类；（5）研究了一类具有资源依赖扩散的两物种竞争模型，其中扩散项展开后即转化为扩散-对流型（扩散与对流具有特殊结构），得到了不同的动力学结果，提出了新的共存机制；（6）研究了一类具有对流的反应扩散捕食食饵模型，刻画了系统正稳态解的存在性、唯一性以及多解性等定性性质以及长时间动力学。主要研究成果发表（接收待正式刊出）在本领域的国际权威期刊SIAM Journal on Applied Dynamical，Journal of Differential Equations（5篇），Nonlinearity，Journal of Dynamics and Differential Equations，Journal of Mathematical Biology等。理论上，进一步发展了处理这类具有非自伴算子非线性问题的理论和方法，得到了一些新的理论结果；应用上，为理解对流环境中物种演化机制提供了一定的理论支撑，为如何更好地保护河流生态系统提供一定的理论依据。