流体和液晶中尖锐界面极限及其相关问题的研究

The coexistence of two phases in the common fluid and the liquid crystal exists widely in nature, daily life and modern industrial equipment, such as the oil-water two-phase flow in oil exploitation and liquid crystals equipment. The phase transition and the motion of the interface make the two-phase study more complex than the ordinary single-phase flow. In this project, firstly,we study the.convergence relationship between the H model coupled with fluid and the sharp interface limit model and the convergence relationship between the liquid crystals Beris-Edwards model coupled with fluid and the sharp interface limit model. Secondly, the existence of the global weak solution and the existence of local strong solutions of the sharp interface limit model of the Edward model are given. Thirdly, it is assumed that the potential wells of the Bulk energy potentials of the Landau-de Gennes energy functional are two disjoint submanifold,we study the asymptotic behaviors of Landau-de Gennes minimal energy functional under constraints and their minimizer. Lastly, we study the generation of liquid crystal Isotropic-Nematic interface without flow. A series of research of this project will expand and deepen the understanding of the phase transition phenomenon in fluid and liquid crystal, and enrich the mathematical research in this important field.

普通流体和液晶中的两种相位共存广泛存在于自然界、日常生活和现代工业设备中，如石油开采中的油水两相流、液晶设备等。相位的改变以及分界面的运动使得两相流研究比普通的单相流研究更复杂。本项目拟研究：一、耦合流体的H模型和尖锐界面极限模型之间的收敛关系以及耦合流体的液晶Beris-Edwards模型和尖锐界面极限模型之间的收敛关系；二、研究耦合流体的液晶Beris-Edwards模型的尖锐界面极限模型的全局弱解存在性和局部强解存在性；三、假设液晶Landau-de Gennes能量泛函的Bulk能量位势井是两个互不相交的子流形，研究Landau-de Gennes泛函在约束条件下极小能量及极小化子的的渐近行为；四、研究不耦合流体液晶的Isotropic-Nematic界面生成机制。本项目的系列研究将拓展和加深人们对流体和液晶的相变及分界面的数学机理的认识和理解，丰富这个重要领域的研究成果。

本项目主要研究内容之一是围绕描述双相流的扩散界面模型和尖锐界面模型的一致性问题开展研究，数学上是研究扩散界面模型当过渡层的厚度趋于零时是否收敛到相应的尖锐界面模型。主要研究内容有：一、和山东大学陶涛副教授、浙江大学王伟教授合作，在强解的框架下，数学上严格建立了描述肿瘤细胞增长的扩散界面模型和尖锐界面极限模型之间的收敛关系；二、和上海纽约大学刘豫宁副教授合作，数学上给出了描述Willmore flow 扩散界面模型的尖锐界面极限收敛的严格证明；三、和美国纽约大学林芳华教授、北京大学章志飞教授及浙江大学王伟教授合作，严格证明了矩阵值Allen-Cahn方程的尖锐界面极限的收敛性；四、和德国雷根斯堡大学H. Abels教授合作，证明了二维Navier-Stokes-Allen-Cahn 方程尖锐界面极限在强范数意义下的收敛性。本项目主要研究内容之二是围绕流体力学边界层理论开展研究，数学上是研究当粘性系数趋于零时Navier-Stokes方程是否收敛到Euler方程+Prandtl方程，主要研究内容有：一、和美国佐治亚理工学院林治武教授、山东大学陶涛副教授、北京国际数学研究中心高宸博士后合作，分别建立了二维圆环和圆盘上 Navier-Stokes 方程的无粘极限收敛性；二、和美国佛罗里达州立大学王晓明教授、 首都师范大学牛冬娟教授合作，研究了Stokes-Brinkman 方程零孔隙率极限问题。 本项目研究内容与著名的Navier-Stokes方程（三维NS方程光滑解的存在性被美国克雷数学研究所定为七个千禧年大奖难题之一）边界层、Keller-Rubinstein-Sternberg猜想等密切相关，均是偏微分方程研究领域中的热点和难点。该项目研究将有助于增强对NS方程、双相流相变的理解和认识，进一步解决Keller-Rubinstein-Sternberg猜想。