关于不可压缩Navier-Stokes方程及相关问题的概率研究

The motion of an incompressible inviscid fluid is classically described by the Euler equation, but can also be seen, following V.Arnold, as a geodesic. Therefore, we can study the Euler equation from the differential geometry aspect. It is natural to think of the Navier-Stokes equation as .a perturbation of the Euler equation. The underlying stochasticity of the Navier-Stokes equation is encoded in the Laplacian. The project mainly studies the Navier-Stokes quation and related problems using probabilistic methods. It consists of the Euler-Lagrange equation of the general Lagrangian, the stochastic maximum principle on a group of volume-preserving diffeomorphisms and the existence and uniqueness of the generalized solution of the Navier-Stokes equation.

V.Arnold给出了不可压缩理想流体运动满足的Euler方程的测地线描述，从而我们可以用微分几何的方法研究Euler方程。自然地，把Navier-Stokes方程看成Euler方程的扰动，注意到布朗运动的生成元是Laplace算子，我们可以用随机的方法研究Navier-Stokes方程。本项目主要利用概率方法研究Navier-Stokes方程及相关问题，主要包括：无穷维保体积微分同胚群上定义的一般Lagrange作用量的Euler-Lagrange方程；无穷维保体积微分同胚群上的随机极大值原理；不可压缩Navier-Stokes方程的广义解的存在唯一性。

V. I. Arnold用保体积微分同胚群上的测地线来刻画Euler方程, 从而提供了一种研究Euler方程的新的思路, 即可以用几何的观点研究Euler方程. 利用 V.I. Arnold的观点推导出其他的流体力学方程, 在物理和数学理论中都有非常重要的意义. 本项目主要利用概率方法研究Navier-Stokes方程及相关问题：.首先, 将Arnold及Cruzeiro等人的思想做进一步的推广, 给出无穷维动态规划原理, 并利用无穷维Bellman随机动态规划原理和无穷维Hodge理论, 给出底流形上不可压缩Navier-Stokes方程的概率刻画. 这为我们研究Navier-Stokes方程解的正则性问题提供了新的研究思路, 也就是利用随机控制与随机微分几何的方法研究Navier-Stokes方程. .其次, 通过拉格朗日乘子法给出了porous media 型和Camassa-Holm方程的随机刻画以及Noether型的守恒律, 这为porous media 型方程和Camassa-Holm方程的研究提供了一种新的方法.