非线性数学物理方程非局域对称、可积离散化的研究

One of the central topics in modern mathematical physics is to find exact solution and integrability of the continuous and discrete models. Exact solutions can be used to explain the known physical experiment phenomena, the physical mechanism and predict the future development, while integrability can provide some information on the solution. With the development of computational physics and theory physics, the study on properties of the nonlinear mathematical physics equation from a variety of perspective is more and more attention. In this project we will mainly focus on: A) Study on nonlocal symmetry of continuous and discrete equations, construct the exact solutions, conservation laws, integrable hierarchies of the equations. B) Using the symmetry-preserving scheme to study the discrete formats of some high dimensional nonlinear mathematical physics equations, and extended to the integrable discrete format. This will lead to a kind of interaction solutions among elliptic periodic waves and solitons, generate new integrable discrete systems, which provides a new way for the research of mathematical physics.

连续和离散模型的精确解及可积性一直是现代数学物理核心研究课题之一，精确解可用于解释已知的物理实验现象、揭示物理机制并预测未来的发展，而可积性可以在一定程度上为解提供信息。随着计算物理和理论物理发展的日益完善，从多种角度研究非线性数学物理方程的性质越来越受到重视。本项目主要研究: A) 研究连续、离散方程的非局域对称，并构造方程的精确解、守恒律、可积梯队； B) 利用保对称离散算法研究高维非线性数学物理方程的离散格式，并推广到可积离散格式。这将得到具有实际物理背景的椭圆周期波和孤立波相互作用等奇异性波解, 产生新的可积离散系统，为数学物理的研究提供新的途径。

非线性数学物理方程的精确解及可积性一直是现代数学物理核心研究课题之一.方程的求解是非常困难的工作，其研究成果可以用来对实际物理现象进行科学的解释及预测其他可能性的发生，而可积性可以在一定程度上为解提供信息。. 项目按照计划顺利进行，已按计划书完成各阶段工作，主要工作已经在一些重要的数学物理类的国际国内重要杂志正式发表了10篇SCI论文，已经完成项目的目标，主要成果对非线性科学的发展有着一定的推动作用。. 第一阶段，主要是研究了一些非线性系统的非局域对称，得到了一些重要发展方程的重要的精确解及其他可积性质。一系列新的发现使人们认识到非局域对称不但有深刻的数学结构, 而且由此发现了在物理上有重要意义的相互作用解, 如孤子与Painlevé波、孤子与周期余弦波等相互作用解。求得了相关的非局域对称后，可以讨论其多种有重要物理意义应用，如构造方程新的严格解、无穷维守恒律等工作。. 第二阶段，主要是利用其他方法研究非线性发展方程的精确解及其他性质，主要包括对称方法、函数展开方法、相容Tanh展开方法等。这些方法可以构造不同形式的精确解，如周期波解，椭圆函数解等。特别是相容Tanh方法，利用Painlevé截断展开，把一般对称与非局域对称联系起来，利用此方法本项目构造了多个系统的相互作用解，这些结论对已研究系统的物理性质有着指导意义。.第三阶段，主要是利用非局部对称方法及保对称离散方法研究了一些连续可积方程的离散化。构造离散可积系统是非线性科学中非常重要的数学问题，通过可积离散化，得到具有很好性质的离散方程，进而利用可积系统的一些性质构造离散方程的解。利用可积性及对称性，构造了多个系统的可积离散方程，这些结论对研究系统的可积性有着重要的理论支持。