Banach空间的非紧性测度及其相关问题

As an index to describe “how far” a bounded set is from compact set, measure of noncompactness can be regarded as a kind of quantitative characterization of compactness to some extent. This project will focus on some fundamental problems such as representation of measures of noncompactness and their inequivalence. Some ideas in geometry of infinite dimentional space, convex analysis, Banach lattice and abstract M space will be combined with the classic analysis methods in study of measure of noncompactness to consider the following problems:.(1).Establishing a theorem about representation and construction of measure of weak noncompactness and super weak compactness;.(2).Existence of inequivalent regular measure of noncompactness of arbitrary infinite dimentional Banach spaces;.(3).Constructing inequivalent measures of (super) weak noncompactness of Banch spaces which admit unconditional basis;.(4).Characterizing Banach spaces for the existence of inequivalent measures of noncompactness of operators..The research on the above problems will reveal the inner connection between measure of noncompactness as a function on set and convex function on Banach space, and also the constructing characteristic of measure of noncompactness as a sublinear function.

Banach空间的非紧性测度是衡量一个集合和紧集“相差多远”的指标,一定程度上可视为对紧集特征的定量描述.本项目将致力于对非紧性测度的表示和等价性等问题的研究,拟综合运用无穷维空间几何,凸分析,Banach格,抽象M空间的思想和非紧性测度的经典分析方法,探究如下问题:.(1) Banach空间中正则非弱紧性测度和非超弱紧测度的构造和表示问题;.(2) 一般无穷维Banach空间中,不等价正则非紧性测度的存在性问题;.(3) 具有无条件基序列的Banach空间中,不等价非(超)弱紧测度存在性问题;.(4) 使得算子不等价非紧性测度存在的Banach空间的特征刻画..本项目的研究将揭示非紧性测度作为集合函数与Banach空间上的凸函数之间的内在联系,和非紧性测度作为次线性函数的构造特征.

非紧性测度是紧性的一种刻画形式，新的刻画形式给分析学诸多领域带来了新的研究方向和应用，近年来备受关注。 本项目研究非紧性测度及其相关问题，主要关注非紧性测度的表示，多种非紧性测度之间的关系，和非紧性测度的应用等。. 超弱紧性是近年来出现的一种新形式的紧性，其介于经典的紧和弱紧之间。在项目的实施阶段，我们研究了超弱紧集性在凸包运算下的保持性，得到了肯定的结果，这一结果回答了在此领域的学者长期关注的问题。进一步，在此基础上，我们引入了Hausdorff型的非超弱紧测度，并初步研究了此测度的一些基本计算性质及其与赋范半群、Hausdorff度量等经典对象之间的联系。. 在引入这一测度的前提下，我们研究了一些经典序列空间的超弱紧集的刻画问题，得到了在经典序列空间范数的意义下，序列空间的超弱紧集与分量投影的超弱紧性之间的量化关系。进一步，得到了一些空间中的非超弱紧测度的表示。这一研究从一个新角度研究超弱紧性，是Leonard和Banas等人关于弱紧研究的拓展。. 关于非紧性测度的应用，我们研究1-集合压缩映射的不动点问题。利用非紧性测度的技术，我们证明了在弱proper条件下的1-集合压缩映射具有不动点的条件，并将这一结果应用到一类非线性积分方程的解的存在性问题中。这一结果将前人关于此类方程解的存在性的研究推广到更宽的条件下。. 项目的既定任务得到了较好地完成。在实施项目的过程中，我们也发现了许多值得关注的新问题，非紧性测度本身也出现了一些我们始料未及的新性质。这不但给我们以后的研究注入了新动力，也带来了新课题和研究方向，我们将持续关注和研究这些相关问题。