基于BMO型空间的实变理论及其应用

Function space theory is one of the core content of modern harmonic analysis, plays an important role in the partial differential equation. On the basis of previous work, we will further study of the new characterizations and properties of the BMO type space, such as characterize BMO space in terms of the weak boundedness of commutators. And the new characterizations and properties of the BMO type space will be applied to the study of partial differential equations. This project involves different type BMO space, such as the BMO space, weak BMO space, center BMO space, Campanato space, etc. The weak boundedness of different type operators will be used in the study of BMO type spaces, such as convolution type, rough kenerl type, multilinear type. Also, the theory will be considerd and extended to several directions, european space, the non-doubling measure space, non-homogeneous metric space, anisotropic space, etc.

函数空间理论是现代调和分析的核心内容之一，在偏微分方程中起着重要的作用。在前期工作的基础上，我们将深入研究各类BMO型空间的性质和新特征刻画，例如通过交换子的弱有界性刻画BMO空间。并将有关BMO型空间的性质和新特征刻画应用于偏微分方程的研究中。本项目研究涉及到BMO空间、弱BMO空间、中心BMO空间、Campanato空间等不同类型BMO型空间，卷积型、粗糙核，多线性等不同类型的算子的弱有界性来刻画BMO空间，以及欧式空间、非双倍测度空间、非齐型度量空间和各向异性空间等不同结构的底空间。

函数空间理论是在复分析、概率论、泛函分析等学科中起着关键作用，特别是在偏微分方程中有重大应用。例如，Sobolev空间，Morrey空间等的引入为偏微分方程的研究提供了重要的方法和技术。随着非线性弹性力学、电流变学及图像恢复等实际问题的发展，具有变指数增长性条件的非线性问题成为一个新兴的研究课题。为了解决这类非线性问题引起的不协调，由经典函数空间推广的变指标函数空间理论很自然地引起了众多学者的关注。例如，变指标Lebesgue空间、变指标Sobolev空间，变指数Morrey空间等。项目组成员王定怀和周疆引进了变指标中心BMO空间，作为应用，得到了Hardy算子及其共轭算子的交换子在变指标Lebesgue空间上有界性的特征刻画，另外，还考虑了交换子在变指标Herz空间上的向量值不等式。项目组成员赵欢和周疆介绍了一类变指标各向异性Herz型Hardy空间，建立了该空间的原子和模分解，进一步的，他们考虑了线性算子在变指标各向异性Herz型Hardy空间上的有界性质。. 另外，算子与交换子理论是现代调和分析的核心内容之一，有着极为深刻的背景和极为广泛的应用，Hardy-Littlewood 极大算子在现代分析中起着最基本.的作用，20 世纪 50 年代 Calderon-Zygmund 奇异积分算子理论的创立奠定现代调和分析的基础，这一理论被广泛应用与复分析、偏微分方程、位势分析、概率论等学科中。例如: Calderon-Zygmund 奇异积分算子是 Hilbert 变换和Reisz 变换的直接推广，前者来源于上半平面共轭调和函数的边界值研究，后者与二阶椭圆方程解的正则性紧密相关。项目组成员王定怀和周疆引入弱型中心BMO空间和研究Hardy算子在Lebesgue空间上的弱有界性，给出了奇异积分算子交换子的强有界性与弱有界性等价的本质原因。项目组成员王定怀和周疆也证明了双线性算子的单一变量的交换子、线性交换子和迭代交换子的有界性也可以刻画BMO空间。项目组成员胡喜和周疆介绍了一类具有Dini核的奇异积分算子，分别给出了该算子及其交换子的加权范数不等式。项目组成员王定怀和周疆证明了双线性算子的交换子在Morrey型空间上的最优估计。项目组成员何随心和周疆得到了具有非光滑核的向量值多线性极大奇异积分算子在加权Morrey空间上的有界性质。