利用无相位远场数据的障碍反散射问题数值算法研究

Inverse acoustics and eletromagnetic scattering problems have a wide application in many areas such as radar, nondestructive testing and medical imaging. However，in a variety of realistic applications, the measurements of the full data cannot be obtained, but instead only the intensity information of the far-field pattern (or scattering field) might be available. This leads to the study of phaseless inverse scattering problems. The problem considered is that of determining the location and the shape of a obstacle from knowledge of the phaseless far-field data. To break the translation invariance property of the phaseless far-field pattern, we add a reference ball as an extra artificial obstacle component to the underlying scattering system and propose a nonlinear integral eqaution method with a reference ball to reconstruct the location and the shape of the obstacle. Uniqueness theorem for the inverse obstacle scattering problem with phaseless far-field data is also considered in this project. This study not only provides a new research idea and effective numerical methods for inverse obstacle scattering problems with phaseless far-field data, but also has some practical application value.

声波和电磁波的反散射问题在雷达探测、无损探测和医学成像等许多领域有广泛的应用。在实际测量中，通常只能测得远场（或散射场）的强度信息，而很难精确测得其相位信息，由此发展出了使用无相位数据的反散射问题。本项目主要考虑声学与电磁学中，使用无相位远场数据重构散射体位置与形状的反散射问题。为了同时实现位置与形状的重构，拟在单频平面波作为入射场的散射系统中，人工引入参考球破坏无相位远场的平移不变性，提出一类带有参考球的非线性积分方程方法，对散射体的位置与形状给出数值重构，并给出一些关于反问题解的唯一性的理论分析。本研究不仅为使用无相位远场数据的障碍反散射问题提供新的研究思路和行之有效的数值方法，而且其相关研究成果还具有一定的实际应用价值。

声波和弹性波的反散射问题在无损探测、地址勘探和医学成像等许多领域有广泛的应用。在实际测量中，通常只能测得远场（或散射场）的强度信息，而很难精确测得其相位信息，由此发展出无相位反散射问题。而相对于单一频率或少数离散频率下的频域散射数据，时域散射场数据含有更多的有效信息，将有助于提高重构精度，因此时域反散射问题同样是重要的研究领域。本项目完成的主要研究内容如下：a)声波和弹性波的无相位反障碍散射问题以及无相位声弹耦合反散射问题；b)声波和弹性波的时域反障碍散射问题。取得的研究成果如下：1）针对弹性波障碍散射问题和声弹耦合散射问题，给出了具有高精度的Nyström型离散方法。特别的，对弹性波障碍散射情形，引入适当的Sobolev空间，研究了耦合积分系统的三角配置法，给出了半离散和全离散格式解的收敛性和误差估计，并数值验证了理论分析的正确性。2）提出基于参考球的非线性积分方程方法。针对声波无相位障碍反散射问题，首次将参考球与T.Johansson和B.D.Sleeman提出的一类非线性积分方程方法相结合，以一个入射方向、固定频率的平面波作为入射场，利用无相位远场数据，同时重构出散射体的位置和形状。然后，将该方法推广到弹性波无相位障碍反散射问题，以一个入射方向、固定频率的平面波作为入射场，利用无相位远场数据同时重构出散射体的位置与形状。该研究建立了Navier方程P-波远场和S-波远场与相应的耦合Helmholtz系统远场之间的关系，证明了无相位P-波远场和无相位S-波远场的平移不变性。最后，将该方法推广到无相位反声弹耦合问题，以一个入射方向、固定频率的平面波作为入射场，利用无相位远场数据同时重构出散射体的位置与形状。该研究给出了单层位势二阶导数的跳跃关系并建立耦合边界积分方程组，证明了耦合系统的适定性，建立了无相位远场的平移不变性，并通过在散射系统引入参考球给出反问题解的唯一性结果。3）提出基于CQ技术的非线性积分方程方法。对于时域声波障碍反散射问题，首先使用CQ法对时间变量进行离散，然后将延迟位势边界积分方程转化为复波数的边界积分方程组，最后利用非线性积分方程方法进行边界重构，数值实验表明了该方法的有效性。4）时域弹性波障碍散射问题解的适定性分析。利用新构造的多项式形式的压缩坐标变换结合Galerkin法和能量法，得到了解的存在唯一性和稳定性估计。