关于l-进层的ε因子的分歧扭结公式

In 2016, there are two great breakthroughs in geometric ramification theory：one is that Beilinson proves the existences of the singular support for a constructible etale sheaf on a smooth variety over any field, and another one is that Saito constructs the characteristic cycle for a constructible etale sheaf on a smooth variety over a perfect field. Based on Beilinson and Saito’s theory, our project will focus on some important open questions, especially on the twist formula for the epsilon factor of l-adic etale sheaves. More precisely, we will investigate the following questions: Saito’s conjecture on the relation between cohomological characteristic class and characteristic cycle, the geometrization of Deligne and Henniart’s ramified twist formula for local epsilon factors, and the characteristic cycle for a motive. Our approach to this project is to use fibration method and Deligne-Laumon’s product formula for epsilon factors on a curve, in order to improve our understanding of the relations between geometric ramification theory and arithmetic invariants.

2016年，几何分歧领域有两个重大突破:一是Beilinson证明了光滑代数簇上可构造平展层的奇异支撑的存在性定理，二是Saito构造了光滑代数簇上可构造平展层的特性圈。基于Beilinson与Saito所建立的理论，在本项目中我们将围绕几何分歧领域几个急需解决的重要问题展开研究工作，特别是利用l-进平展层的特性圈来研究其ε因子的扭结公式。具体来说，我们关注的问题是上同调示性类与特性圈之间的关系（Saito猜想）、Deligne与Henniart局部分歧扭结公式的几何化以及motive的特性圈理论。我们期望利用纤维化方法以及Deligne与Laumon关于曲线上ε因子的乘积公式来研究上述问题，以进一步提升我们对几何分歧理论与算术不变量之间关系的理解。

几何分歧理论是数论与代数几何非常重要的分支之一，它与类域论、有限域上高维代数簇的L-函数等有着深刻的联系。在本项目中，我们围绕几何分歧领域几个重要问题展开了研究工作，在项目的资助下，项目负责人发表了2篇论文，另有4篇论文处于投稿中。在这些论文中，我们获得了以下重要结果：..（1）项目负责人与合作者解决了国际著名专家Kato与Saito在[Ann.Math.2008]上提出的ε因子扭结公式猜想。l-进层的Grothendieck L-函数是连接代数几何与数论的一个桥梁，类似于黎曼ζ函数，它也有函数方程。该函数方程中有一个非常重要的不变量：l-进层的ε因子。Kato与Saito猜想的重要意义在于，它给出了ε因子与类域论以及几何分歧理论的关系；..（2）我们定义了上同调示性类的局部化版本，几何分歧领域的奠基人Takeshi Saito教授建议我们将之命名为non-acyclicity类。我们证明了non-acyclicity类的泛性质，并对奇异代数簇建立了上同调版本的导子公式与米尔诺公式。..（3）项目负责人与合作者利用A1同伦理论来研究motive的几何分歧理论。我们构造了二次型版本的Artin导子，并将经典的Grothendieck-Ogg-Shafarevich公式推广到了motivic范畴。