两类Monge-Ampere方程问题的研究

In this project，we intend to study two kinds of Monge-Ampere equations. One is the maximal surface equation and the equation of prescribed affine mean curvature in affine geometry, which are fully nonlinear fourth order equations of Monge-Ampere type. We will study the existence, regularity and asymptotic properties of the solutions at infinity for the unbounded domain, which includes the famous Chern conjecture for the affine maximal hypersurfaces in the high dimensional case. The other is Monge-Ampere equations associated with vector fields satisfying Hormander's condition. This project will study the regularity of the solutions of the equations, which includes the C^{1,α} regularity, C^{2,α} estimates and W^{2,p} estimates problems.

本项目研究两类Monge-Ampere方程，其中一类是仿射几何中极大曲面方程和预定仿射平均曲率方程，它们是全非线性四阶Monge-Ampere型方程，本项目将研究该方程在无界区域中解的存在性、正则性和在无穷无处的渐近性质，包括陈省身关于仿射极大曲面著名猜想的高维情况；另一类是与满足Hormander条件向量场相关的Monge-Ampere方程，本项目将研究该方程解的正则性，其中包括解的C^{1,α}正则性、解的C^{2,α}估计和W^{2,p}估计问题。

对仿射几何中相关的Monge-Ampere型方程，发现了一些解的存在性。对L_{p}-Minkowski问题，它等价于求解一类Monge-Ampere型方程，用拓扑度方法证明了这类方程存在旋转对称解的合理的充分条件, 并得到了旋转对称解. 研究了n+1维欧氏空间L_{p}-Minkowski问题的临界情形，即中心仿射Minkowski问题相关的Monge-Ampere型方程，使用Blow-up和变分方法，建立了这一问题解的存在性的两个充分条件。通过两种不同的构造方法,对某个区间内的p, 证明了L_{p}-Minkowski问题相关的Monge-Ampere型方程解的非唯一性。. 对全空间的Monge-Ampere方程解的存在性和渐近性，在非齐次项非负且在无穷远处有多项式增长性的假设下证明了其无穷多整凸解的存在性；当非齐次项满足双倍条件时，证明了其解有多项式增长性，作为应用，得到了一类高斯曲率流问题平移解的存在性, 回答了高斯曲率流平移解的一个公开问题. . 对满足Hormander条件向量场上相关的Monge-Ampere方程解的正则性，当向量场为欧氏空间的标准基向量时，研究了一类在边界上有奇异项包括椭圆型Monge-Ampere方程在内的一般全非线性椭圆方程解的正则性。在自然结构条件下，证明了在边界处具有奇异低阶导数项的一大类二阶非线性椭圆方程最优边界正则性；通过细致的构造上下界，得到了其解在边界的精确增长性估计, 从而利用尺度论证方法， 将解的边界正则性简化为解的内部的正则性；发现了一迭代技巧，因此证明了带强下项边值的一类奇异方程边值问题最优全局解的正则性。. 为研究这些Monge-Ampere方程解的正则性，得到了一些对称函数的Schur凸性、Schur 乘性凸性和 Schur 调和凸性，用新方法推广并解决了Guan (2007) 提出的一个公开问题，用控制理论建立一些凸几何不等式，导出Safta 猜想在高维空间的推广。. 对源自生物领域的耦合双曲-抛物模型的光滑解的全局存在性和渐近行为，在初始值可以任意大的条件下，证明了Cauchy问题光滑解的全局存在性和渐近行为；在初始值的H^{s}∩L^{1}范数充分小的条件下，建立了全局光滑解的最优衰减率。. 对Monge-Ampere Keller-Segel方程；给出弱解定义，并证明了方程解的存在性。