从Gauss到Riemann的微分几何学之历史研究

The development of differential geometry from Gauss to Riemann is a crucial transformation in the history of differential geometry, which is also a hot topic in the field of history of mathematics. There are massive achievements on this topic published in the past, but many of them only focus on Gauss and Riemann with a discontinuous history. Our research move part of the emphasis to relevant work of Minding, Jacobi, Liouville and Bonnet between Gauss and Riemann. By reinterpreting the original literature, the thinking process behind these literature are reconstructed. Then, some historical issues concerning Gauss’ and Riemann’s work, the reception process of Gauss’ differential geometry work, and the background and sources of Riemann’s geometric ideas are investigated. In recent years’ study, our research method and aim get clear gradually, with some historical issues and some concrete historical problems extracted. After the investigation of these historical issues and problems, a new landscape of development of differential geometry from Gauss and Riemann will be in front of us.

从Gauss到Riemann的微分几何学发展，是微分几何学史上极为重大的变革，也是国内外数学史界研究的热点。关于这段历史虽然已有大量研究成果，但大都仅关注Gauss与Riemann两位数学家的微分几何工作，直接从Gauss跨跃到Riemann。本项目将从Gauss到Riemann的微分几何学史的关注点部分地分配给Gauss与Riemann之间的Minding、Jacobi、Liouville、Bonnet等数学家的相关工作。在解读原始文献的基础上，重构相应数学家个体的微分几何学工作的思想脉络，探讨有关Gauss与Riemann工作本身的若干历史问题，研究这段时期数学家们对Gauss微分几何工作的接受与发展过程，全面考察Riemann微分几何工作的背景和思想来源。对这段历史进行全面而有新意的解读，力图呈现从Gauss到Riemann的微分几何学发展的整体图景。

从Gauss到Riemann的微分几何学发展，是微分几何学从古典向现代的过渡，是微分几何学的历史上一个极为重要的转变。本项目通过与前人有所不同的视角，在关注这段历史的核心人物Gauss、Riemann的同时，考察Gauss与Riemann之间的微分几何学发展。包括. 1.研究了高斯内蕴几何学思想起源和逐步成熟的过程。通过对高斯全集中关于总曲率、绝妙定理的笔记、手稿、论文的研究，还原高斯建立绝妙定理和获得内蕴微分几何思想的过程，构建该过程的逻辑线索。系统解读高斯1825年手稿和1828年《关于曲面的一般研究》，总结高斯与前人相比的数十个创新点所在。通过1825年手稿和1828年论文在技术细节和整体思路两方面的对比,显示高斯内蕴几何思想逐步深化的过程。.2.研究了高斯与黎曼之间微分几何学的接受与发展过程。系统解读明金在曲面展开问题和测地曲率两方面的五篇原始文献，总结明金的微分几何贡献，发现明金微分几何工作中若干未被前人总结出来的具体命题。梳理法国的刘维尔和博内在内蕴微分几何相关主题上的工作。. 3.阐述黎曼关于几何学基础的就职演讲及其影响。从空间哲学、非欧几何学、微分几何学三方面考察黎曼演讲所要解决的几何学基础的问题的历史背景，系统解读黎曼演讲，并分析黎曼演讲在以上三方面的历史贡献。简要梳理黎曼就职演讲发表后引起的反响以及导致的微分几何工作。总结黎曼与高斯的内蕴微分几何思想的传承关系和本质不同所在。