有限群与区组设计的构造及其分类的研究

This project mainly studies the influence of finite groups on the structure of block designs. We will investigate how to make use of the automorphism group of the design to construct and classify the block design, and give the description of the design and its corresponding automorphism group. Specifically speaking, firstly, we sill study t-(v, k, λ) designs admitting a flag-transitive group of automorphisms to construct and classify these type of designs. Secondly, we will give necessary and sufficient conditions for the existence of 2-(v, k, λ) designs in the family to possess a block-transitive group of automorphisms. The designs with the parameter λ≥2 will be constructed and classified. Thirdly, we will investigate the classification of the linear space admitting an almost simple group as a group of automorphisms, which is a combinatoric structure more general than 2-(v, k, 1) design, and describe the structure of the linear space. The expected results of our project will enrich and further develop the theory of group and combinatoric design. Furthermore, it is of great significance to the discovery of new combinatoric structures.

本项目主要研究有限群对区组设计结构的影响，研究如何利用设计的自同构群构造和分类区组设计，给出设计及其自同构群的描述。具体地包括三方面内容：一是研究自同构群是旗传递的t-(v, k, λ)设计，构造和分类这类区组设计；二是研究自同构群是区传递的2-(v, k, λ)设计，给出其存在性的一些充分和必要条件，并构造和分类参数λ≥2的这类设计；三是研究自同构群为几乎单群的线性空间的分类(这里的线性空间是2-(v, k, 1)设计推广的一种组合结构)，给出其结构的描述。本项目的预期成果将丰富和进一步发展群与组合设计的相关理论，对发现新的组合结构具有重要的意义。

本项目主要研究有限群对区组设计结构的影响，研究如何利用设计的自同构群构造和分类区组设计，给出设计及其自同构群的描述。(1) 研究了区传递2-(v, k, 1)设计的存在性问题，主要研究了自同构群基柱为2F_4(q)、G_2(q)等几乎单群的点本原区传递2-(v, k, 1)设计, 给出了这类设计存在的界。(2) 研究了点对(S,G)的分类，其中G是线性空间上的线传递几乎单群，主要研究了自同构群的基柱为Sz(q)、F_4(q)等Lie型单群的线传递线性空间，给出了点稳定子群和线稳定子群的结构，并给出了这类线性空间的参数(v, b, r, k), 从而确定了该类线性空间的结构。(3) 研究了t-(v, k, λ)设计，其中3≤t≤6，λ≥2。研究了自同构群是旗传递的的t-设计，分析了自同构群G与旗传递t-设计之间的联系，给出了4-(v, k, 3)设计、3-(v, k, 2)设计、3-(v, k, 2)设计和5-(v, k, 4)设计的分类。本项目的研究成果丰富和进一步发展了群与组合设计的相关理论，对发现新的组合结构具有重要的意义。