周期结构的数值方法研究及其在模拟与优化光子晶体器件中的应用

在模拟有部分为周期的结构的过程中，传统的数值方法有着各种局限性，常常需要解一个复杂的线性问题，以及无法建立严格的边界条件。我们近期的研究发现，如果充分利用周期结构的几何特征，能够大大减少运算量，再建立严格的边界条件，就可以使计算速度和精度显著提高。这种方法将可以很方便地应用到二维光子晶体器件的优化以及光子晶体波导管连接结构的分析过程中去。光子晶体是近年来被广泛研究和应用的新型周期性人造材料，用它制造出的各种光子晶体器件是集成光路的基本组成部分，而集成光路被视为集成电路的替代者。本项研究将进一步完善及推广Dirichlet-to-Neumann算子、Bloch模展开、及Recursive-doubling等数学方法，推动光子晶体器件的设计和优化，使光更有效地输入输出光子晶体波导管，从而有助于得到各种性质更好的新光子晶体器件和光子晶体波导管的连接结构。

在本项目中，基于Dirichlet-to-Neumann (DtN) 映射以及合理的边界条件，我们发展完善了DtN映射方法来模拟有部分为周期的结构，这种方法的关键在于首先建立起严格或局部的边界条件来截取较小的计算区域，然后充分利用周期结构的几何特征，使用DtN映射来避免计算单元晶格的内部，只需要在单元晶格的边界上进行计算，从而大大减少了运算量。. DtN映射方法可以非常方便的应用到二维光子晶体器件的模拟上去，并且由于计算速度快可以进一步用于光子晶体器件的设计和优化。以DtN映射方法为基础，我们成功的模拟了各种光子晶体器件，例如：T型分支结构、波分复用器等等。并且我们还把DtN映射方法推广到光子晶体异质器件的模拟上去，例如：光子晶体异质结构中的波导管连接系统等等。我们的方法在非常小的计算区域内提供了高精度的计算结果，并且指数收敛。进一步以结构核心区域的介质棒半径为参数我们还优化出了性能更好的T型分支结构和波分复用器, 其中优化采用的是BFGS拟牛顿法而DtN映射方法被用来计算每次迭代时的传输系数。. 由于设计制造和优化器件的过程中灵敏度分析会提供重要的参考信息，而标准的灵敏度分析方法依赖于响应函数对于设计参数的一阶偏导数，一旦这些一阶偏导数为零或很小，就无法发挥作用。因次，我们利用DtN映射方法发展出了能有效计算二阶偏导数的方法, 并且在传输系数接近1的频率上，以光子晶体90度拐弯结构为例来演示我们的二阶灵敏度分析过程。. 本项目在结题时已经基本完成基金申请时预定的目标，部分结果已经整理并发表。